- •Введение
- •Задание на расчетно-графическую работу
- •Содержание
- •1. Получение выборки измерений случайной величины 8
- •2. Краткие теоретические сведения 10
- •2.1. Описание первичной статистической обработки результатов измерений случайной величины 10
- •1. Получение выборки измерений случайной величины
- •2. Краткие теоретические сведения
- •2.1. Описание первичной статистической обработки результатов измерений случайной величины
- •2.1.1. Математическое моделирование результатов измерений случайной величины. Выборка измерений
- •2.1.2. Построение вариационного ряда
- •2.1.3. Исключение грубых ошибок измерений
- •2.1.4. Построение статистических оценок математического ожидания и дисперсии
- •Построение точечных оценок
- •Построение интервальных оценок
- •2.1.5. Построение статистического ряда
- •2.1.5. Построение статистических оценок функции распределения Статистическая оценка функции распределения
- •2.1.6. Построение статистических оценок плотности распределения
- •2.2. Проверка статистических гипотез о законе распределения случайной величины по критериям согласия
- •2.2.1. Критерий согласия χ 2 Пирсона
- •2.2.2. Критерий согласия Колмогорова
- •3. Требования к оформлению пояснительной записки к расчетно-графической работе
- •4. Пример выполнения расчетно-графической работы
- •4.1. Исходные данные к расчетно-графической работе
- •4.1.1. Получение выборки измерений
- •4.2. Выполнение расчетно-графической работы
- •4.2.1. Первичная обработка результатов измерений
- •4.2.1.1. Построение вариационного ряда
- •4.2.1.2. Исключение грубых ошибок измерений
- •4.2.1.3. Построение статистических оценок математического ожидания и дисперсии Точечные оценки
- •Интервальные оценки
- •4.2.1.4. Построение статистического ряда
- •Статистический ряд
- •4.2.1.5. Построение статистических оценок функции распределения
- •1. Статистическая функция распределения
- •2. Кумулятивная ломаная
- •4.2.1.6. Статистические оценки плотности распределения
- •Гистограмма
- •Полигон частот
- •4.2.2. Проверка статистических гипотез о законе распределения св
- •4.2.2.1. Критерий согласия χ2 Пирсона
- •4.2.2.2. Критерий согласия Колмогорова
- •Список литературы
- •Приложения
- •Приложение 2. Интервальная таблица
- •Приложение 4. Критерий Колмогорова
- •Приложение 5. Критерий Пирсона
- •Приложение 7. Критические точки распределения Хи–квадрат
- •Приложение 8. Критические точки распределения Колмогорова
- •Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение
- •Казань 2010
2.2.2. Критерий согласия Колмогорова
Критерием согласия Колмогорова называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения в виде функции распределения F(x).
Критерий А. Н. Колмогорова применяется для проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины X.
Пусть заранее известно, что функция распределения исследуемой случайной величины X – непрерывная. Выдвинем гипотезу
,
то есть предположение, что функцией распределения случайной величины является выбранная нами из каких-то соображений непрерывная функция F0(x).
Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки независимых измерений X.
Для решения этой задачи введем статистику критерия проверки гипотезы в виде случайной величины:
, (1)
где – статистическая функция распределения.
Реализация t статистики , соответствующая выборке , может быть найдена по формуле
, (2)
где – реализация статистической функции распределения .
Доказано, что ( если H – истинна) .
Здесь D – случайная величина, распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины, используя таблицы или формулы распределения Колмогорова, можно найти из условия:
,
где – вероятность практически невозможного события, и, следовательно, событие – практически невозможное.
Из предыдущих соотношений следует: [ если - истинна] , то есть: [если - истинна] [ - практически невозможно].
Теперь с точностью до принципа практической уверенности можно утверждать, что если гипотеза истинна, то реализации t статистики Т не могут превосходить границы . Далее по закону контрапозиции математической логики находим, что с той же точностью из неравенства следует ложность гипотезы . Итак, с точностью до принципа практической уверенности имеем:
( – истинна) ;
( – ложна).
Из этих соотношений следует, что неравенство необходимо для принятия, а неравенство достаточно для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности).
Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:
( – принять);
(3)
( – отклонить);
Правило (3) называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины. Алгоритм критерия, очевидно, состоит в следующем:
Провести независимые n-кратные измерения случайной величины X с непрерывной функцией распределения и получить выборку .
Исключить из выборки грубые ошибки.
Построить реализацию статистической функции распределения.
Выдвинуть гипотезу F0(x) о функции распределения случайной величины X.
Вычислить значение параметра t по формуле 2.
Задать вероятность практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова (Прил. 8) найти параметр .
Принять или отклонить гипотезу .
Доказано, что критерий А. Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный. Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки критерия t зависит от наибольших различий и F0(x), то нет необходимости построения и F0(x) на всем диапазоне изменения x; достаточно ограничиться областью наибольших различий и F0(x). Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если в формировании гипотезы о F(x) используются характеристики эмпирических распределений, так как в этом случае статистика Т зависит от F(x). Известные неудобства доставляет также значительная трудоемкость построения статистики А. Н. Колмогорова.