2. Полигон частот

Построим полигон частот (сглаженную гистограмму) – вторую оценку плотности распределения f(x). Полигон относительных частот строится по точкам ( , ) , j= (см. рис. 11).

Рис.11. Полигон относительных частот

Полигон частот строим по точкам, координаты которых равны ( , n_j) , j= (см. рис. 12).

Рис.12. Полигон частот

4.2.2. Проверка статистических гипотез о законе распределения св

4.2.2.1. Критерий согласия χ2 Пирсона

Проверим гипотезу о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины. Гипотезу о законе выдвинем в виде предполагаемой плотности распределения f₀(x):

_.

В качестве оценок параметров нормального закона примем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии:

=296,6 , =331,0612.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения X и получить выборку xⁿ;

1. Построить вариационный ряд;

2. Исключить грубые ошибки;

3. Определить число интервалов ;

4. Определить границы интервалов;

5. Определить количество элементов попадающих в интервал;

6. Задать гипотезу о плотности распределения f₀ (x);

8.Определить вероятность попадания случайной величины в полуинтервал (x^j-1_; x^j), равную p_j:

_j ,

где - середина j-го интервала,

l_j– длина j-го интервала .

9.Рассчитать значение реализации статистики проверки гипотезы:

, где q –количество интервалов;

10.Задать уровень значимости α;

11.С помощью таблиц распределения Пирсона, по входам α и k=q-r-1 определить , здесь r=2 – количество параметров предполагаемого нормального закона распределения;

12.Принять или отклонить гипотезу по правилу:

если < , гипотеза принимается

если > , гипотеза отклоняется

Расчет значений функции f₀(x), определяемые по формуле:

,

будем проводить, используя встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны: 1) значению , 2) точечной оценке математического ожидания , 3) точечной оценке среднеквадратического отклонения , 4) четвертый параметр равен 0, что соответствует возвращению функцией значения плотности распределения нормального закона распределения.

Зададим вероятность, а=0,05 практически невозможного события, заключающегося в том, что сумма относительных отклонений оценки плотности распределения от значения функции плотности распределения, принятой в качестве гипотезы, не превзойдет значения . Если выполняется условие: < , то гипотеза принимается.

Значение параметра , возьмем из таблицы распределения ² Пирсона (Приложение 7), исходя из значений вероятности a=0,05 и числа степеней свободы k=q-r-1, где r=2 - количество параметров предполагаемого нормального закона распределения: =9,487728.

После расчета реализации статистики проверки статистической гипотезы о нормальном распределении (наблюдаемого значения критерия), получили _набл=2,2917, которое не превышает значение параметра =9,487728. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 5.

4.2.2.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова позволяет проверить гипотезу о виде функции распределения случайной величины и ее параметрах. Выдвинем следующую гипотезу: случайная величина распределена по нормальному закону с функцией распределения

В качестве значений параметров берем рассчитанные ранее значения реализаций точечных оценок этих параметров:

=296,6 и =18,19509.

Рассчитаем значение реализации статистики проверки гипотезы t:критерия Колмогорова по формуле:

,

где x_i –элемент выборки, .

Расчет значений предполагаемой (гипотетической) функции F₀(x) можно осуществлять в MS Excel, используя встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны: 1) значению x_i, 2) точечной оценке математического ожидания , 3) точечной оценке среднеквадратического отклонения , 4) значение четвертого параметра равно 1, что соответствует возвращению встроенной функцией значения функции распределения нормального закона.

Второй способ расчета значений предполагаемой функции распределения F₀(x) основан на применении таблицы значений функции Лапласа (Приложение 6). При этом требуется нормализовать выборку значений случайной величины Х, т.е. перейти к случайной величине Y, которая является нормированной случайной величиной Х: y_i=(x_i- )/ s.;

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения Х и получить выборку хⁿ;

2. Построить вариационный ряд;

3. Исключить грубые ошибки;

4. Построить реализацию статистической функции распределения;

5. Задать гипотезу, что F₀(x) есть функция распределения Х;

6. Рассчитать наблюдаемое значение критерия t,

7. Задать значение уровня значимости а и с помощью таблицы Колмогорова найти критическое значение t_α;

8. Принять или отклонить гипотезу по правилу:

( – принять);

( – отклонить);

Зададим вероятность а=0,05 практически невозможного события, заключающегося в том, что оценка функции распределения отклонится от значения функции принятой в качестве гипотезы, на величину большую, чем t_α P( . Если выполняется условие: t<t_α, то гипотеза принимается.

Значение параметра t_α возьмем из таблицы Колмогорова (Приложение 8), исходя из значений вероятности а=0,05 и объема выборки n=50: t_α=0,18841.

Наблюдаемое значение критерия (расчетное значение) получили t=0,058, которое не превышает критического значения t_α. =0,18841. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 4.

Выводы

В результате выполненных расчетов было установлено следующее:

1. При проведении опыта не было выявлено грубых ошибок измерения.

2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины соответственно равны:

=296,6;

=331,0612;

3. В результате проведенной проверки соответствия закона распределения случайной величины – времени работы программы дефрагментации диска – нормальному закону, было установлено, что с вероятностью = 0,95 практически достоверного события выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины.