2. Краткие теоретические сведения
2.1. Описание первичной статистической обработки результатов измерений случайной величины
2.1.1. Математическое моделирование результатов измерений случайной величины. Выборка измерений
Пусть
измеряется некоторая случайная величина
многократно (n
раз).
Тогда получим ряд конкретных результатов измерений – вектор
x=(x1, x2, …,xn),
представляющих собой реализацию n-мерной случайной величины
Xn=(X1, X2,…, Xn).
Здесь
x1=
+1
– конкретный результат первого измерения
(1
– конкретная ошибка, допущенная при
первом измерении);
x2= +2 –конкретный результат второго измерения (2 – конкретная ошибка второго измерения);
…
xn= +n – конкретный результат n-го измерения (n – конкретная ошибка n-го измерения; x1, x2, …,xn, 1, 2, …, n – конкретные числа).
Полученная в первом измерении ошибка 1- это случайный результат, т.е. 1 можно считать реализацией случайной величины 1, описывающей все возможные ошибки первого измерения.
Следовательно, все возможные результаты первого измерения описываются случайной величиной: X1= +1.
Все возможные результаты второго измерения описываются случайной величиной: X2= +2, где 2 – случайная величина, описывающая все возможные ошибки второго измерения и т.д.
Все возможные результаты n-го измерения: Xn= +n.
Совокупность всех возможных результатов измерений, таким образом, описывает вектор Xn со случайными компонентами: X1, X2, …, Xn:
Xn=(X1, X2,…, Xn).
Этот n-мерный случайный вектор называется случайной выборкой измерений.
Конкретные результаты n-кратного измерения записывают в виде вектора:
xn=(x1, x2, …,xn),
который является реализацией случайной выборки и называется выборкой измерений.
Из
описания этого эксперимента следует,
что Xn
можно считать случайным результатом
конкретных измерений случайной величины
X,
причём Xi
(i=
)
можно считать i-м
экземпляром случайной величины X
(состояние СВ Х
в i-ом
измерении).
Таблица, в которую записываются результаты конкретных измерений СВ Х, называется простым статистическим рядом или простой статистической совокупностью.
Простой статистический ряд имеет вид:
i |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
На основе выборки измерений можно решить следующие задачи математической статистики:
построить оценку параметра V и исследовать поведение этой оценки в зависимости от Xn, т.е. с учетом всех потенциально возможных значений xi, (i= );
построить оценки:
– функции распределения СВ Х: F(x)=P(X<x),
– плотности распределения СВ Х: f(x)=dF(x)/dx;
построить оценки математического ожидания
и дисперсии
СВ Х:
= M[X],
=M[(X–
].
Таким образом, реализация xn=(x1,…,xn) случайной выборки xn=(x1,…,xn), служит исходным материалом для статистической обработки результатов измерений.
2.1.2. Построение вариационного ряда
Вариационный ряд представляет собой неубывающую (убывающую) последовательность вариантов (x(1),…,x(n)) – последовательность элементов выборки измерений, расположенных в порядке неубывания (убывания).
Для
определенности рассмотрим неубывающий
вариационный ряд. Первый элемент
вариационного ряда x(1)
будем
называть минимальным и обозначать его
xmin,
последний элемент вариационного ряда
x(n)
будем
называть максимальным и обозначать
xmax.
Разность между максимальным и минимальным
элементами называют размахом и обозначают
=
xmax
- xmin