4.2.1.5. Построение статистических оценок функции распределения

1. Статистическая функция распределения

Реализация статистической функции распределения F*(x) рассчитывается по формуле:

F*(x) =

где - число вариантов вариационного ряда (значений с учетом кратности, т.е. количества повторений), расположенных левее x (включая точку x) , n – объем выборки.

Строим график оценки функции распределения, который представлен на рис.7.

Рис.7. Статистическая функция распределения

Данные для построения статистической функции распределения приведены в приложении 4 (Критерий Колмогорова).

2. Кумулятивная ломаная

Кумулятивную ломаную (вторую оценку функции распределения) строим по формулам:

F** (x ) = 0,

F** (x ) = p ,

F** (x ) = p + p ,

……………………

F** (x ) = p + p + … + p ,

где =1.

Результаты расчетов для построения кумулятивной ломаной из таблицы приложения 2 занесем в табл.8.

Таблица 8

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервалов	260; 270,14	270,14; 280,28	280,28; 290,42	290,42; 300,57	300,57; 310,71	310,71; 320,85	320,85; 331
Относительная частота интервалов	0,08	0,1	0,18	0,24	0,16	0,12	0,12
F**(x)	0,08	0,18	0,36	0,6	0,76	0,88	1

График кумулятивной ломаной представлен на рис.8.

Рис.8.Кумулятивная ломаная

4.2.1.6. Статистические оценки плотности распределения

1. Гистограмма

Первый способ построения гистограммы: на основе относительных частот.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною , а высота равна отношению = (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Учитывая свойство плотности распределения можно записать:

P(x^j-1 X<x^j ) = f( _j)*l_j , (j=0,q) , где l_j – длина j-го интервала, f( _j)- средняя на интервале l_j плотность распределения f(x).

Заменяя P(x^j X<x^j+1 ) частотой p^*_j статистического ряда, получим следующее выражение для приближенного значения f^*_j плотности распределения на разряде I_j :

f^*_j= p^*_j/ l_j , j=1,q.

Таким образом, гистограмма относительных частот строится следующим образом: на оси Оx отложим длины разрядов и на них, как на основаниях, построим прямоугольники, имеющие площадь p^*_j и высоту равную f^*_j (см. рис.3).

Используем данные из табл. 3. “Статистический ряд” для построения оценок плотности распределения f(x).

Рис.9. Гистограмма относительных часто

Существует еще один способ построения гистограммы. Аналогично первому способу отложим на оси абсцисс границы разрядов (границы интервалов) из таблицы статистического ряда и на каждом интервале построим прямоугольник высотой y_i: y_i=n_j. Данная гистограмма приведена на рис.10.

Рис.10. Гистограмма, построенная по частотам n_j.

Данные для построения гистограмм приведены в Приложении 2 (Интервальная таблица).