Измерение величин

Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятель­ности человека на заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различные множества, различные однородные величины, определяя прежде всего, какая из сравниваемых величин больше, какая меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода

(длины, площади, объемы, массы и т.п.) сравнивались с этало­ном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, величине-эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал на­зываться единицей измерения. Цель измерения стала более опре­деленной — оценить, сколько единиц содержится в измеряемой величине. Результат измерения стал выражаться числом.

Задача измерения величин, так же как и задача определения численности множеств предметов, является источником, порож­дающим числа. Однако в отличие от первой задачи, решение ко­торой полностью обеспечивается натуральными числами, для за­дачи измерения величин этих чисел недостаточно. Это наглядно обнаруживается описанием процедуры измерения на простейшем примере измерения длин.

Пусть необходимо измерить длину отрезка АВ с помощью еди­ницы измерения CD длины е (илл. 19).

Хотя мы опишем процедуру измерения длины конкретного отрезка АВ с помощью конкретной единицы измерения длины е, все действия и рассуждения, которые мы при этом проведем, носят общий характер и пригодны для решения любой задачи этого типа, т. е. для измерения длины любого отрезка.

Откладываем отрезок CD от точки А последовательно на отрез­ке АВ, при этом возможны следующие случаи.

1. Возможно, что отрезок CD отложится на отрезке АВ целое число раз. На илл. 19, А, например, 5 раз (а вообще п раз), т.е. второй конец отрезка CD (точка D) при пятом (а в общем случае при п-м) отложении совпадает с точкой В (концом отрезка АВ).

Так как длина отрезка АВ равна 5е (пе), то, принимая длину е за 1, можно считать числовое значение длины отрезка АВ равным 5 (в общем случае — я).

Если обозначить числовое значение длины отрезка АВ через \АВ\ (в дальнейшем для краткости вместо «числовое значение длины» будем говорить просто «длина» там, где это не приводит к недоразумению), то в нашем примере |/4i?|=5, а в общем случае \АВ\=п. В этом случае натуральные числа обеспечивают решение задачи измерения.

2. Возможно, что точка А$ (А„) не совпадает с точкой В (илл. 19, Б), причем |Л5.В|<е, т. е. если отложить еще один раз от­резок CD, то конец его Аь(А_п+1) уже окажется вне отрезка АВ, иными словами, точка В окажется между точками А5 и Аь (А_п и A„+i). Тогда длина отрезка АВ уже не выражается натуральным числом, она находится «между» двумя последовательными нату­ральными числами 5<\АВ\<6, или в общем виде п<\АВ\<п+\, между которыми, как известно, нет других натуральных чисел.

В этом случае мы можем лишь приближенно считать длину отрезка АВ равной одному из этих чисел, 5 или 6 (я или п+1). В ре­зультате получаем приближенное значение измеряемой длины с точностью до 1. Это означает, что, принимая одно из этих чисел за значение длины отрезка АВ, мы допускаем погрешность, мень­шую 1, причем число 5 (я) — приближенное значение длины с недостатком, а число 6 (я+1) — с избытком. Если точка В ближе к точке А^ (А„), то число 5 (я) ближе к истинному (точному) значе­нию длины отрезка АВ, если же точка В ближе к точке А^ (А„+\), то число 6 (я+1) ближе к точному значению этой длины. В зави­симости от этого выбирают то приближенное значение, которое ближе к точному, что дает меньшую погрешность.

Если такая степень точности удовлетворяет нас, то можно счи­тать процесс измерения законченным. Однако практика часто предъявляет требование получить результаты измерений с более высокой степенью точности, т. е. с меньшей погрешностью.

С этой целью возникает необходимость продолжить процесс измерения, т. е. измерить длину остатка, отрезка Аф, в общем слу­чае А_пВ. Естественно, это нельзя сделать с помощью той же еди­ницы измерения CD, которая не умещается на этом отрезке. Надо выбрать более мелкую единицу измерения, какую-то часть отрез­ка CD, допустим десятую. Тогда длина е\ этой новой единицы из­мерения равна 0,1е, т.е. числу 0,1 (здесь неявно применяется свойство о возможности деления величины на какое угодно число частей).

Далее процедура измерения повторяется, но уже примени­тельно к отрезку Аф (А_пВ) и с единицей измерения длины 0,1. Значит, опять возможны два случая:

1. Новая единица измерения уместится на отрезке Аф (А„В) целое число раз, например 3 раза, а вообще п_{ раз, где «i< 10, так как прежняя единица измерения е не умещается на отрезке А„В. В этом случае И-#1⁼5,3 (\АВ\=п, п{), т.е. для выражения числового значения длины уже потребовалось дробное число (мы взяли де­сятую долю первой единицы в качестве второй единицы измере­ния, чтобы можно было воспользоваться десятичными дробями).

2. Новая единица измерения не належится целое число раз, т. е. точка В не совпадает с концом накладываемой единицы изме­рения. В этом случае получаем, например, 5,3<|А8|<5,4, или в общем виде п, п\<\АВ\<п, п{, где п{=п\ + \, т.е. каждое из чисел 5,3 и 5,4 («, п\ и п, п{) выражает приближенное значение длины отрезка АВ, первое — с недостатком, второе — с избытком, и оба — с точностью до 0,1. Принимая любое из этих чисел за длину отрезка АВ, мы допускаем погрешность, меньшую 0,1, а следова­тельно, в десять раз меньшую, чем та, которая получается, если принимать за приближенное значение длины этого отрезка нату­ральное число 5 или 6.

Если такая точность удовлетворительна, то процесс измере­ния можно считать законченным. В противном случае процесс продолжается, т. е. повторяется та же процедура, но уже примени­тельно к новому остатку, отрезку А^^В, и с новой единицей наме­рения, длина которой, например, десятая доля прежней единицы, т.е. ^2=0,01. Заметим, что можно было бы принимать 61=72 е, ^e2~^xh ^еь ^и тогда были бы получены приближенные значения длины в виде двоичных дробей.

В результате получаем, например, либо \АВ\=5,36 (]АВ\=п, п\п2), либо 5,36<|Аб|<5,37 (п, п\п2<\АВ\<п, п\п{~), т.е. приближен­ные значения длины: 5,36 (п, n\ni) с недостатком, или 5,37(и, /Ji«₂') с избытком, но уже с точностью до 0,01 или с погрешностью, в 100 раз меньшей, чем первые приближения с помощью натураль­ных чисел 5 или 6.

Если такая точность достаточна для решаемой задачи, то про­цесс измерения считается законченным, в противном случае он продолжается, т. е. процедура измерения повторяется примени­тельно к новому остатку и с новой единицей измерения.

Естественно возникает вопрос: до каких пор может продол­жаться процесс измерения?

Оказывается, вообще возможны два случая: 1) на каком-то этапе процесса измерения единица измерения уложится целое число раз на измеряемом отрезке; 2) ни на каком этапе процесса измерения это не случится и, следовательно, процесс измерения будет продолжаться бесконечно.

Последнее обстоятельство означает, что существуют так на­зываемые несоизмеримые отрезки, например диагональ квадра­та и его сторона. Если измерять диагональ квадрата стороной, т. е. принимая сторону квадрата за единицу измерения, то про­цесс измерения никогда не закончится, так как ни сама сторона квадрата, им любая ее часть, полученная от деления стороны на целое число равных частей, не укладывается целое число раз в диагонали этого квадрата. В этом случае и рациональных чисел, т. е. целых и дробных, недостаточно для решения задачи изме­рения. В математике этот пробел устраняется дальнейшим рас­ширением системы чисел с помощью введения иррациональных чисел. Как Как известно из школьной математики, иррациональные числа представляются в виде бесконечных десятичных неперио­дических дробей и образуют, таким образом, вместе с рацио­нальными числами множество вещественных (или действитель­ных) чисел, т. е. объединение множеств рациональных и ирра­циональных чисел.

Однако только теоретически процесс измерения может ока­заться бесконечным. Практически же процесс измерения длин (и других величин) состоит из конечного числа шагов, что дает в ре­зультате приближенное значение измеряемой величины с любой требуемой степенью точности, зависящей от количества выпол­ненных шагов в процессе измерения.