Подмножество. Дополнение множества и отрицание предложения

Рассмотрим теперь некоторое свойство, которым могут обла­дать или не обладать элементы нашего универсального множества.

Свойство быть красным выделяет из универсального множест­ва подмножество красных блоков или фигур. Свойство быть круг­лым выделяет из этого множества другое подмножество — круглых блоков (или фигур).

Термин подмножество применяется в математике в смысле часть множества. При этом, однако, не исключаются два крайних случая: когда часть множества (подмножество) совпадает со всем множеством, т. е. все элементы множества обладают рассматрива­емым свойством, и когда эта часть не содержит ни одного элемен­та, например ни один блок не обладает свойством быть зеленым. В последнем случае эту часть называют пустым множеством и обозначают символом 0.

Эти крайние случаи тоже можно смоделировать конкретны­ми ситуациями, создаваемыми с помощью блоков (или фигур).

Если, например, рассматривая только красные блоки (теперь множество красных блоков является универсальным), мы пред­лагаем выделить из них те, которые являются красными, то вы­деленное подмножество совпадает со всем рассматриваемым множеством. Если же предлагается из этих блоков отделить (переложить в другой ящик) все те, которые являются синими, то этот ящик останется пустым, т. е. фактически в множестве красных блоков будет выделено «пустое множество» блоков.

Пусть множество М — некоторое универсальное множество, множество А — некоторое подмножество множества М. Симво­лически это обозначается «АсМ». Говорят также, что множество А включается в М. Это означает, что все элементы множества А являются также элементами множества М. Выделение подмно­жества с помощью некоторого свойства может быть смоделиро­вано с помощью игры с одним обручем. Опишем эту игру.

На полу (или на столе) располагают обруч (такой, который используется в художественной гимнастике, или поменьше). У каждого ребенка в руке — один блок. Дети по очереди распо­лагают блоки в соответствии с заданием воспитателя, например внутри обруча — все красные, а вне обруча — все остальные (илл. 4).

Илл. 4

Эта задача, как правило, не вызывает затруднений у детей, уже различающих блоки по цвету и понимающих, что значит внутри и вне обруча. После решения задачи предлагаются два вопроса: «Какие блоки лежат внутри обруча?» и «Какие блоки лежат вне обруча?» Первый вопрос несложен для детей, так как ответ содер­жится в условии уже решенной задачи. Второй вопрос на первых порах вызывает затруднения, так как в условии задачи говорится «все остальные», здесь же спрашивается «Какие?» Ответ, который мы хотим получить («Вне обруча лежат все не красные блоки»), появляется не сразу. Такой ответ, как «Вне обруча лежат все жел­тые и все синие блоки», по существу правильный. Но мы хотим выразить свойство блоков, оказавшихся вне обруча, как отрица­ние свойства тех, которые лежат внутри. Можно предложить детям назвать свойство всех блоков, лежащих вне обруча, с помощью одного слова, используя при этом слово «красные». Некоторые дети догадываются, и в дальнейшем, при проведении этой игры в различных вариантах, эти трудности уже не возникают.

В ходе этой игры отрабатывается переход от выражения неко­торого свойства к выражению отрицания этого свойства:

внутри обруча вне обруча

красные не красные

квадратные не квадратные

большие не большие {малые)

толстые не толстые {тонкие)

не круглые круглые

не желтые желтые

и т. п.

Какова же цель применения таких дидактических игр? В даль­нейшем будет показано, что такого рода дидактические материа­лы предшествуют формированию одного из важнейших общеоб­разовательных умений — умения классифицировать объекты.

Отвлечемся теперь от описанной конкретной игры и рассмот­рим илл. 4 как изображение некоторого множества М (с помощью множества точек внутри прямоугольника) и некоторого подмно­жества А (с помощью множества точек круга), выделенного из М некоторым свойством Р. Оставшиеся элементы М, т. е. те, кото­рые не принадлежат А, не обладают свойством Р. Множество всех этих элементов (тоже подмножество М) называется дополнением множества А (до универсального множества М) и обозначается через 7L {А с чертой). Если множество А характеризуется свойством

Р, то его дополнение А характеризуется свойством не Р (если эле­менты А красные, то элементы А не красные).

Таким образом, множество А представляет собой множество всех х из М, не обладающих свойством Р. Образование дополне­ния А приводит к образованию отрицания предложения, выража­ющего характеристическое свойство множества А.

Отрицание некоторого предложения Р конструируется на рус­ском языке с помощью слов неверно, что, поставленных перед от­рицаемым предложением, или, если Р — простое предложение, использованием частицы не перед сказуемым.