Основные идеи количественной теории натуральных чисел

В количественной теории натуральное число с самого начала воспринимается как число элементов (мощность, численность) конечного множества.

Рассмотрим всевозможные конечные множества (говорят «класс, или семейство, множеств») и установим для них отноше­ние эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем называть эквивалентными (обозначается это через А~В), если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.

Установленное таким образом отношение множеств является отношением типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, сим­метрично и транзитивно. Для любых множеств А, В, С:

а) А~А; б) если А~В, то В~А; в) если А~В и В~С, то А~С.

Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса эквивалентны, а любые два множе­ства различных классов неэквивалентны.

Эквивалентные множества не совпадают полностью, всеми своими свойствами: множество пальцев человеческой руки и мно­жество, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные множества.

Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. любые два множества одного класса равномощны (имеют одинаковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечны­ми множествами, то равномощность означает равночисленность. Мощность, или класс, равночисленных конечных множеств и на­зывают натуральным числом.

Таким образом, каждому конечному множеству Л приписыва­ют в качестве характеристики натуральное число т(А), опреде­ляющее его принадлежность определенному классу эквивалент­ности. При этом множествам, принадлежащим одному классу эк­вивалентности, приписывается одно и то же натуральное число:

если А~В, то т(А)=т(В);

множествам, принадлежащим различным классам эквивалент­ности,— различные натуральные числа:

если А~В, то т (А)^т(В).

Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих мно­жеств.

В основе такой концепции натурального числа лежит абстрак­ция отождествления: отношение эквивалентности множеств отож­дествляет множества, принадлежащие одному классу эквивалент­ности по их численности.

В результате этого отождествления от множеств, принадлежа­щих одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, в виде самостоятельного понятия — натурального числа.

Название «количественная теория» связано с тем, что в этой теории натуральное число обозначает количество элементов мно­жества.

Основные идеи порядковой теории натуральных чисел

В конце XIX в. была построена порядковая теория натураль­ных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту тео­рию на аксиоматической основе.

Весьма развитый в математике аксиоматический подход к по­строению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все осталь­ные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее дока­занных фактов, теорем.

Отметим, что аксиоматический подход применяется для по­строения теории, о которой уже имеются определенные, сформи­рованные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществ­ляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Подход к построению теории натуральных чисел, берущий на­чало от Пеано, представляет собой определенный способ матема­тизации интуитивного представления о натуральном ряде.

Математизация этого интуитивного понятия приводит к опре­делению натурального ряда как некоторой структуры (T, 1,'), со­стоящей из: а) множества N, элементы которого называются нату­ральными числами; б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей; в) определенного в множестве ТУотношения «непосредственно следует за» (число, не­посредственно следующее за числом*, обозначим черезх\ т. е. если у непосредственно следует за х, то у=х'; у! — «сосед справа» для х).

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризу­ющих эту структуру).

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натураль­ным числом, т. е. не является «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.

П. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т. е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не бо­лее чем за одним натуральным числом, т. е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число — точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

I. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (Л/c/) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х¹', непосредственно следующее за х, то это множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M=N).

Предложение I, хотя по своему содержанию более слож­но, чем первые три, также выражает достаточно простое свой­ство: с помощью последовательного прибавления единицы, на­чиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Вся­кий раз, когда мы доходим до некоторого числа х, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа х?.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его обра­зования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления сле­дующего шага.

Свойства I—I характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения ', названного «непосредствен­но следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, характеризующими операции сложения и умножения в множе­стве N.

Расширим систему свойств I—I таким образом, чтобы полу­чить характеристику структуры (N, 1,', +, •).

Знак + обозначает операцию «сложение», сопоставляю­щую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х+у, называемое их суммой и обладающее следующими свойст­вами:

т. е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непо­средственно следующему за х числу хЛ I. Х+у'=(х+у)',

т. е. сумма любого числа х с числом у', непосредственно следу­ющим за любым числом у, равна числу, непосредственно следу­ющему за суммой х+у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х»у, на­зываемое их произведением и обладающее следующими двумя свойствами: II.x»l=x,

т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).

III. х»(У)=(х»у)+х, т. е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел х и у, сложенному с чис­лом х.

Из свойств I—III выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умножения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицу сложения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно сле­дующее число за каждым однозначным числом уже получено:

Г=2; 2'=3; 3'=4; 4'=5; 5'=6; 6'=7; 7'=8; 8'=9; 9'=10.

Исходя из свойства , получаем таблицу «прибавления едини­цы»:

1 + 1=1'=2;

2+1=2'=3;

3+1=3'=4;

9+1=9'= 10.

Теперь, зная таблицу и используя свойство I, можем вывести, например, чему равно 2+2:

2+2=2+1'=(2+1)'=3'=4.

Аналогично 3+2=3+Г=(3+1)'=4'=5 и т. д.

Как видно, в описанном построении теории натуральных чисел основную роль играет операция (функция) прибавления единицы

/(х)=х+1,

сопоставляющая с каждым числом х непосредственно следующее за ним число х+1 (илихО- Эта идея используется в обучении счету маленьких детей.