Пересечение множеств и конъюнкция предложений

Опишем игру с двумя обручами.

Размещают на плоскости два разноцветных обруча (допустим, красный и черный) так, чтобы они пересеклись (имели общую часть), и предлагают детям расположить блоки так, чтобы внутри красного обруча оказались, например, все красные блоки, а внут­ри черного — все круглые (илл. 5).

, все красные блоки, а внут­ри черного — все круглые (илл. 5).

Вначале некоторые дети допускают ошибки. Начиная запол­нять красный обруч красными блоками, они могут расположить все эти блоки, в том числе и круглые красные, вне черного обруча. Затем все остальные круглые блоки располагают внутри черного, но вне красного обруча. В результате общая часть двух обручей может оказаться пустой.

Некоторые дети после постановки вопроса «Все круглые блоки внутри черного обруча?» замечают допущенную ошибку и перекладывают круглые красные блоки в общую часть двух обру­чей, объясняя, почему они должны лежать именно там (внутри красного обруча — потому что красные, внутри черного — потому что круглые).

После выполнения практической задачи по расположению блоков дети отвечают на четыре стандартных для всех вариантов игры с двумя обручами вопроса. Какие блоки лежат: 1) внутри обоих обручей; 2) внутри красного, но вне черного обруча; 3) внут­ри черного, но вне красного обруча; 4) вне обоих обручей. Следует подчеркнуть, что блоки надо называть здесь с помощью двух свойств — формы и цвета.

Отвлечемся теперь от описанной игры и рассмотрим ситуа­цию, изображенную на илл. 5, в общем виде¹.

Общая часть множеств Д и В (илл. 5, область (1)) представляет собой подмножество всех элементов из М, принадлежащих как А, так и В, т. е. обладающих обоими свойствами Ри Q. Это множество называется пересечением множеств А и В и обозначается через АглВ.

Итак, пересечением Аг\В двух множеств А и В называется мно­жество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, т. е. их общая часть.

Если характеристические свойства множеств А и В выражают­ся с помощью предложений Р и Q соответственно, то характерис­тическое свойство пересечения АслВ выражается предложением «Ри Q», составленным из предложений PnQc помощью союза и. Это предложение называется конъюнкцией предложений Р и Q (от лат. conjunctio — союз, связь).

¹ Изображение множеств с помощью кругов было предложено выдающимся математи­ком Леонардом Эйлером (1707—1783). Поэтому такие круговые диаграммы называют круга­ми Эйлера, иногда диаграммами Эйлера—Венна.

Зависимость истинностного значения конъюнкции от истин­ностных значений составляющих предложений определяется обычным смыслом союза и: конъюнкция «Р и Q» истинна тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих ее предложения Р и Q. Это можно записать в виде следующей истинностной табли­цы, дающей истинностные значения конъюнкции при любых воз­можных комбинациях истинностных значений составляющих (см. табл. 1).

Таблица 1. Истинностные значения конъюнкции
	Р	Q	PhQ
	И	и	И
	и	д	Л
	гт	И	л
	л
	л	Л	л

В логике конъюнкция обозначается знаком «л», т. е. вместо «Р и О» пишут «PaQ».