Объединение множеств и дизъюнкция предложений

Обратимся еще раз к игре с двумя обручами, изображенной на илл. 5. Поставим еще один вопрос: «Какое множество блоков ока­залось внутри хотя бы одного из двух обручей: красного или чер­ного?» Этот вопрос сложный, так как характеристическое свойст­во этого множества требует применения союза или в нераздели­тельном (соединительном) смысле, что вызывает затруднения не только у дошкольников.

Правильный ответ на поставленный вопрос может быть сфор­мулирован следующим образом. Внутри хотя бы одного из двух обручей находится множество блоков, каждый из которых крас­ный или круглый. Это множество состоит из всех красных не круг­лых, красных круглых и не красных круглых блоков (изображен­ных соответственно областями (2), (1), (3) в диаграмме (илл. 5).

В общем виде можно сформулировать так. Если множество А характеризуется свойством Р, множество В — свойством Q, то множество, состоящее из всех предметов, являющихся элемента­ми хотя бы одного из этих двух множеств, характеризуется свой­ством Р или Q.

Это множество называется объединением множеств А и В и обозначается «ЛиВ».

Итак, объединением ЛоВ двух множеств А и В называется мно­жество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Союз или понимается здесь в неразделительном смысле, т. е. каждый элемент объединения A\jB должен принадлежать хотя бы одному из множества А, В, т. е. или А, или В, или обоим множест­вам An В.

Таким образом, если характеристические свойства множеств А и В выражаются с помощью предложений Р и Q соответственно, то характеристическое свойство объединения АиВ выражается пред­ложением «Р или Q», составленным из предложений Р и Q с помо­щью союза или, понимаемого в неразделительном смысле. Это предложение называется дизъюнкцией предложений Ри Q (от лат. disjunctio — разобщение, различие).

В обыденной речи союз или применяется в двух различных смыслах: неразделительном (соединительном), когда составное предложение, образованное с помощью этого слова, считается ис­тинным в случае, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений; в разделительном, когда составное предложение считается истинным в случае, если истинно только одно из со­ставляющих предложений, в этом случае иногда говорят или.., или, либо.., либо.

Разбиение множества на классы

Разбиение множества на классы лежит в основе классифици­рующей деятельности.

Обратимся еще раз к диаграмме, изображенной на илл. 4. Здесь мы имеем множество М и два его подмножества Ai~A, удов­летворяющие следующим условиям:

1. каждое из множеств А и ~А непустое, т. е. Аф0 и ~Аф<2>;

2. они не пересекаются, т. е. АпА=0;

3. их объединение образует множество М, т. е. A\JA = М. Условия (1)—(3) определяют разбиение множества М на два

класса (А и Л).

Рассмотрим теперь диаграмму на илл. 5.

Здесь мы имеем множество М и четыре подмножества: АглВ, АпВ, ~Ас\В, ЪглВ. Обозначим их соответственно через К\, К2, A3, А4.

Нетрудно заметить, что выполняются условия, аналогичные предыдущим:

1. каждое из множеств К\, Ki, A3, К4 непусто, т. е. А,*0, где/=1, 2, 3,4;

2. эти множества попарно не пересекаются, т. е. Kf\Kj=<Z, где Щ и i,j = 1, 2, 3, 4;

3. их объединение образует множество М, т. е. AiuA₂uA₃uA₄ = М.

Объединение 'ЩыК^ШрвЩ состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих мно­жеств К\, Ki, A3, А4.

В этом случае условия (1)—(3) определяют разбиение множест­ва М на четыре класса.

Рассмотрим теперь игру с тремя обручами.

Пусть три разноцветных (например, красный, черный и синий) обруча расположены так, как показано на илл. 6.

Илл. 6

После того как образовавшиеся области (1)—(8) соответству­ющим образом названы (внутри всех трех обручей, внутри красного и черного, но вне синего и т. д.), решается более сложная, чем в игре с двумя обручами, задача классификации блоков (или фигур) по трем свойствам. Предлагается расположить блоки, например, так, чтобы внутри красного обруча оказались все красные блоки, внутри черного — все квадратные, а внутри синего — все большие. После выполнения задачи расположения блоков ставятся восемь стан­дартных для любого варианта игры с тремя обручами вопросов. Какие блоки лежат: 1) внутри всех трех обручей; 2) внутри красного и черного, но вне синего обруча; 3) внутри черного и синего, но вне красного обруча; 4) внутри красного и синего, но вне черного обру­ча; 5) внутри красного, но вне черного и вне синего обруча; 6) внут­ри черного, но вне синего и вне красного обруча; 7) внутри синего, но вне красного и вне черного обруча; 8) вне всех трех обручей?

Как видно на илл. 6, в игре с тремя обручами моделируется разбиение множества на восемь классов:

Ш{ т АпВпС; К₂ = АпВиС; К_ъ = ИглВслС; К₄ = АглВпС; К₅ = АпВпГ; К₆ = InBnC; К₇ = InBnC; K_s = InBnC.

И здесь также выполняются условия (1)—(3).

Теперь можно ответить в самом общем виде на вопрос: что такое разбиение множества на классы?

Система множеств К\, К₂,... К„ называется разбиением множе­ства М на классы, а сами эти множества — классами разбиения, если выполняются следующие условия:

1. каждое из множеств К\, К₂, ... К„ непустое, т. е. Kj*0, где / = 1, 2, 3,.., я;

2. эти множества попарно не пересекаются, т. е. Kji~\Kj = 0 для всяких fcj и 1, 2, 3, .., п;

3. их объединение образует множество М, т. е. К_{иК₂и...К„ = М.

Если хотя бы одно из условий (1)—(3) не выполняется, то сис­тема множества К\, К₂,.., К„ не является разбиением множества М на классы. Например, система множества остроугольных, прямо­угольных и двупрямоугольных треугольников не образует разбие­ние множества всех треугольников, так как множество двупрямо­угольных треугольников, содержащих по два прямых угла, пусто, т.е. не выполняется условие (1). Система множеств остроуголь­ных, прямоугольных и равнобедренных треугольников не образу­ет разбиение множества всех треугольников, так как не выполня­ется условие (2) — множества прямоугольных и равнобедренных треугольников пересекаются (существуют прямоугольные равно­бедренные треугольники). Система множества остроугольных и прямоугольных треугольников не образует разбиения множества треугольников, так как не выполняется условие (3) — объедине­ние множеств остроугольных и прямоугольных треугольников не образует множество всех треугольников.