Свойства отношений

1. Отношение р на множестве А является рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении р с самим собой. Если же каждый элемент множества А не находится в этом отношении с самим собой, отношение обладает свойством антирефлексивности и называется антирефлексивным.

Среди уже перечисленных нами отношений рефлексивными являются: равно, не меньше, не больше, делит, делится на, равенство и подобие фигур; антирефлексивными являются отношения: нерав­но, меньше, больше между числами; предшествует, следует за между точками прямой. Отношение быть ровесником между людь­ми является рефлексивным, отношение же быть отцом, быть ма­терью, выше, старше, моложе — антирефлексивными. Отношение быть другом не является ни рефлексивным, ни антирефлексив­ным (бывают случаи, когда человек сам себе друг, и случаи, когда человек сам себе недруг).

2. Рассмотрим свойство: если а-b, то Ь=а, т. е. если пара (а, Ь) находится в отношении равно, то и пара (Ь, а) находится в этом отношении.

Таким свойством обладает, например, отношение быть ровес­ником: если х ровеснику, то у ровесник х. Это отношение обладает свойством симметричности и называется симметричным.

Не является симметричным, например, отношение старше: если х старше у, то неверно, что у старше х. Подобные отношения обладают свойством асимметричности и называются асиммет­ричными.

3. Несложно установить истинность следующих утверждений: если х<у и y<z, то x<z;

если х=у и ущ, то x=z;

если х ровесник у и у ровесник z, то х ровесник z; если х старше у и у старше z, то х старше z; если а\\Ь и Ь\\с, то а\\с.

Однако если х — отец у и у — отец z, то z не есть отец z (он его дедушка); если х — друг у, а у — друг z, то вообще не известно, является ли х другом z.

Свойство отношения р—(Р, А, А), состоящее в том, что из хру и ypz следует xpz для любых х, y,z^A, называется транзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — транзитивным.

Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру и ypz сле­дует —xpz для любых х, у, zЈ А, называется антитранзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — антитранзитив­ным.

Так, отношения меньше, равно, быть ровесником, старше, па­раллельно являются транзитивными. Отношение быть отцом яв­ляется антитранзитивным, а отношение быть другом не является ни транзитивным, ни антитранзитивным.

Отношение эквивалентности

Выделим теперь класс отношений, играющих особую роль в разбиении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными одновременно. К ним относятся отношения ра­венства чисел и геометрических фигур, подобия фигур, отноше­ние быть ровесником.

Эти и другие подобные им, т. е. обладающие такими же свойст­вами, отношения принадлежат важному классу отношений эквива­лентности, находящих широкое применение и использование, в том числе в курсе математики общеобразовательной школы.

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отноше­ние, установленное в некотором множестве А, называется отно­шением эквивалентности.

Если между элементами некоторого множества введено или ус­тановлено отношение эквивалентности, то этим самым порождает­ся разбиение данного множества на классы таким образом, что любые два элемента, принадлежащие одному классу разбиения, на­ходятся в данном отношении (иначе: эквивалентны по этому отно­шению), любые же два элемента, принадлежащие различным клас­сам, не находятся в этом отношении (иначе: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы обычно называют разбиением множества на классы эквивалентности.

Разбиение множества блоков (или фигур) на классы эквива­лентности можно смоделировать с помощью следующей игры с тремя обручами.

В множестве всех блоков введем отношение иметь один цвет (или быть одного цвета). Нетрудно убедиться в том, что это

множества всех блоков на классы эквивалентности по отношению быть одного цвета (области (1), (2), (3), (4) оказываются пустыми, так как нет трехцветного или двухцветного блока, область (8) пуста, так как блоков другого цвета, кроме красного, синего или желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия (1)—(3) правильного разбиения (см. 2.1): 1) ни один из классов (красных, синих, желтых) блоков не пуст; 2) эти классы попарно не пересекаются; 3) их объединение равно множеству Мвсех блоков.

Таким же путем, т. е. с помощью отношения быть одного цвета, формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем все красные предметы.

Аналогично формируется и представление об определенной форме предметов. С помощью отношения иметь одну форму мы

получаем разбиение всех блоков (или фигур) на четыре класса эк­вивалентности такое, что любые два блока (или две фигуры), при­надлежащие одному классу, обладают одной и той же формой, любые же два блока (или две фигуры) различных классов облада­ют различной формой. Сама форма выступает здесь как класс эк­вивалентности. Так, впоследствии, например, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других геометрических фигурах как на плоскости, так и в про­странстве.

Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения эквивалентности являются базой для формирования новых поня­тий и для классифицирующей деятельности, с другой — что рас­смотренные выше (2.1) дидактические игры с обручами обучают этой деятельности.