§ 1. Введение в теорию множеств

Не существует строгого определения множества.

Определение 1. Под множеством понимают всякое собрание каких-либо объектов.

Определение создателя теории множеств Г. Кантора: «Множество – есть многое, мыслимое нами как единое. Объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью».

Примеры. 1) А = {множество студентов в группе}, 2) N = {множество натуральных чисел}.

Определение 2. Объекты, из которых состоят множества, называются элементами.

Если а – элемент множества А, то пишут – а принадлежит А.

Множества сами могут быть элементами множеств. Например, множество натуральных чисел – элемент множества целых чисел. Большинство множеств не являются элементами самих себя. Например, множество всех котов не является элементом самого себя, потому что оно само не кот.

Если все элементы множества А – числа, то А – числовое множество.

Числовые множества

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия.

1) Первыми появились натуральные числа N, получаемые при счете предметов.

Множество натуральных чисел – числа для счета предметов.

2) Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль.

Множество целых чисел

3) Целые числа и дробные образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин.

Множество рациональных чисел – Q

4) Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х² = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I.

Множество иррациональных чисел I – бесконечные непериодические десятичные дроби

5) Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R. В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка.

Множество действительных чисел –

6) На множестве R нет возможности решить уравнение вида х² = – а². Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт. Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе.

Множество комплексных чисел – С.

Задание множеств. Пустые, равные множества, подмножества.

Задание множества осуществляется либо

1) перечислением элементов, например, А = {1, 2, 3},

2) либо с помощью характеристического свойства, т.е. свойства, которым обладает каждый элемент множества и не обладают никакие другие, например, В = {х: 1< х < 3},

3 ) либо с помощью графического изображения (геометрические фигуры на плоскости) – кругов Эйлера:

Иногда характеристическим свойством не обладает ни один объект множества, что повлекло за собой введение понятия пустого множества.

Определение 3. Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым .

Определение 4. Множества А и В называются равными, если состоят из одних и тех же элементов: А = В. В противном случае .

Символ «=» равенства множеств обладает свойствами: а) Х = Х – рефлексивность, б) если Х = Y, то У = Х – симметричность, в) если Х = У и У = Z, то Х = Z – транзитивность.

Из определения 4 вытекает, что порядок элементов в множестве не существенен. Например, А = {1, 2, 3, 4} и В = {4, 1, 3, 2} – одно и то же множество.

Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов, поэтому в множестве не может быть одинаковых элементов. Запись {1, 1, 2, 3} следует рассматривать как некорректную и заменять на {1, 2, 3}.

Определение 5. Символ – отношение включения множеств, т.е. если (А включено в В), то каждый элемент множества А является элементом множества В. При этом множество А называется подмножеством, множество В – надмножеством. Если и , то А называется собственным подмножеством В. В этом случае пишут .

Пустое множество – подмножество любого множества.