Отношения между двумя множествами

С целью уточнения вернемся к вопросу об отношении вклю­чения одного множества в другое.

Вообще говоря, в математике различаются два вида включе­ния: в широком смысле (нестрогое включение) и в узком смысле (строгое включение). Первое обозначается знаком с. Запись «AczB» означает, что все элементы Л принадлежат В. При этом воз­можны два случая:

1. все элементы В принадлежат А, т. е. AczB и ВсА. В этом слу­чае множества An В состоят из одних и тех же элементов и назы­ваются равными, что обозначается так: «А=В». Например, если А — множество всех больших блоков, а В — множество всех бло­ков, которые не являются малыми, то А=В. Как видно, равные множества по существу совпадают (при задании их перечислени­ем элементов они могут отличаться лишь порядком перечисления, который несуществен);

2. не все элементы В принадлежат А, т. е. AciB, но BczA. В таком случае говорят также, что А строго включается в В — или А является собственной (или правильной) частью В. Это отношение в матема­тической литературе обычно обозначается символом «с» {A(zB).

В предматематической подготовке дошкольников встречается лишь строгое включение, собственная часть множества.

В играх с обручами моделируются и другие отношения, в кото­рых могут находиться два множества. Так, например, множества красных (А) и не красных (Л) блоков не имеют ни одного общего элемента, т. е. их пересечение пусто (АглА = 0). Такие два множест­ва, как мы уже знаем, называются непересекающимися (в литературе встречается и термин «дизъюнктные» множества). Множества красных (А) и квадратных (В) блоков имеют общие элементы (крас­ные квадраты), т. е. их пересечение непусто (АглВф0), причем ни одно из этих множеств не включается в другое, т. е. не является подмножеством другого. Такие два множества называются пересе­кающимися.

Выявление правильных отношений между множествами окру­жающих нас предметов — составная часть формирования и разви­тия представлений дошкольников об окружающем мире. Выработ­ка у дошкольников простейших представлений классификации ок­ружающих предметов является основой для формирования в дальнейшем математического мышления, связанного с моделиро­ванием и исследованием различных математических конструкций, способствует повышению алгоритмической культуры учащихся.

2.2. Отношения Бинарные отношения

Под бинарным отношением понимают отношение между двумя предметами. Дальше, говоря «отношение», мы будем иметь в виду именно бинарное отношение. Выясним, что интуитивно понима­ют под отношением и как это понятие можно описать математи­чески.

Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:

• между числами: равно, не равно, меньше, больше, не меньше, не больше, делит, делится на;

• между точками прямой: предшествует, следует за;

• между прямыми: параллельны, пересекаются, перпендикулярны, скрещиваются;

• между прямой и плоскостью: параллельны, пересекаются, пер­пендикулярны;

• между плоскостями: параллельны, пересекаются, перпендику­лярны;

• между геометрическими фигурами: равно, подобно и др.

Это, разумеется, далеко не полный перечень встречающихся в школьной математике отношений.

Примеры бинарных отношений встречаются не только в ма­тематике, но и всюду в жизни, вокруг нас. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, дедушкой, матерью, ба­бушкой, братом, сестрой, другом, ровесником; старше, моложе, выше, ниже и др.) выступают как бинарные отношения. Отноше­ния между событиями во времени (раньше, позже, одновременно), между предметами по их расположению в пространстве (выше, ниже, левее, правее, севернее, южнее и др.) также выступают как бинарные отношения.

Всегда, когда речь идет о некотором отношении, имеются в виду два множества А я В; при этом некоторые элементы множе­ства А находятся в данном отношении с некоторыми элементами множества В или того же множества А.

Таким образом, всякое отношение между элементами мно­жеств А и В (или между элементами множества А) порождает мно­жество пар, первые компоненты которых принадлежат А, вто­рые — В (или тоже А), т. е. порождает подмножество АхВ (или АхА), причем такое, что элементы каждой пары и только они на­ходятся в данном отношении.

Всякое отношение между элементами двух множеств А и В полностью характеризуется тремя множествами: А и В, между эле­ментами которых установлено отношение, и некоторым множест­вом пар Р — подмножеством АхВ, т. е. декартовым произведением. Один из путей определения математического понятия отношения и состоит в отождествлении этого понятия с указанной тройкой множеств.

Отношением между элементами непустых множеств А и В на­зывается тройка множеств р=(Р, А, В), где P<zAxB.

Множество пар Р называется графиком отношения р.

Об элементах пары (х, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру».

Таким образом, записи «(х, у)е Р» или «хру» равносильны.

Если В—А, то р=(Р, А, А) называется отношением между эле­ментами множества А.