Отношение порядка

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, как меньше, больше между числами, предшествует, следует за между точками прямой; старше, моложе между людьми. Эти от­ношения являются антирефлексивными, асимметричными и тран­зитивными.

Всякое антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в некотором множестве А называется отношением по­рядка¹.

2.3. Числа Возникновение понятия натурального числа

1 Иногда такое отношение называют отношением строгого порядка, чтобы отличить его <уг отношения нестрогого порядка, являющегося рефлексивным, антисимметричным и тран­зитивным.

Теоретические основы формирования элементарных матема­тических представлений у дошкольников включают детальное изу­чение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря здесь «числа», мы имеем в виду натуральные числа.

К построению математических моделей явлений, основанно­му на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количест­венных отношений и пространственных форм, человечество при­бегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникновение и форми­рование понятия натурального числа. Оно появилось, по-видимо­му, на довольно позднем этапе развития мышления и предполага­ло наличие способности к созданию абстрактных понятий и опе­рированию ими.

Процесс формирования понятия числа был сложным и дли­тельным. На самом раннем этапе устанавливалась равночислен-ность различных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравнивае­мых множеств. Например, знали, что два рыболова поймали по­ровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальней­шем практика экономических и социальных взаимоотношений привела к необходимости выражать численность одних множеств уже через численность других множеств, т. е. общее свойство рав­ночисленное™ стало осознаваться как нечто отличное от кон­кретной природы самого множества, его элементов. Однако в ка­честве эталонов выступали еще различные множества, состоящие из подручных предметов — эквивалентов равночисленности мно­жеств предметов. Еще позже определенное множество, например пальцы на руках и ногах, начали выступать в качестве своеобраз­ного единственного эталона количества, что позволило выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. Впоследствии общее свойство всех равночисленных множеств абстрагировалось от самих множеств и выступило в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Далее в качестве эталона численности уже выступают сами нату­ральные числа, когда люди говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони). И наконец, происходит отвлечение от ре­ально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах. Возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Объектом научного анализа стано­вятся свойства элементов самого этого множества, в отвлечении от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свойствами и закономерностями.

Как будет показано дальше, процесс формирования представ­лений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.

В математике известны различные способы построения тео­рии натуральных чисел. Мы рассмотрим лишь основные идеи двух теорий натуральных чисел, количественной и порядковой, находя­щие отражение в формировании представлений о числе, счете и арифметических операциях.