Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания:

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример 3. Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из шести изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения.

	0	1	2	3	4	5
	0.2373	0.3955	0.2637	0.0879	0.01460	0.0010

Решение. По формуле (4.1) находим

Модой дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.

Модой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12).

С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины и обозначают :

Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:

Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности , дисперсия

Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле

Свойства дисперсии случайных величин

Свойство 1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Свойство 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

(4.3)

Свойство 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

Пример 4. Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3.

Решение. По определению дисперсии

Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин

Пусть — значения случайной величины , полученные при независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно , а ее дисперсия . Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями:

Среднее арифметическое этих случайных величин

Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать:

	(4.4)
	(4.5)