Аксиомы теории вероятностей.
Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.
Аксиома
1.
Каждому
событию
соответствует определенное число
,
удовлетворяющее условию
и называемое его вероятностью.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.
Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей
Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.
Теоремы сложения вероятностей
Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).
Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Пример
1.
Вероятность P{
того, что прибор выйдет из строя за 1-ый
год работы равна 0.001. Вероятность того,
что это произойдёт на второй год
,
а на третий
.
Найти вероятность того, что прибор
проработает более трёх лет.
Решение.
Найдём
вероятность того, что прибор выйдет из
строя за первые три года работы.
.
Тогда вероятность того, что прибор
проработает безотказно в течение трёх
лет равна
Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере.
Пример
2.
Вероятность
того, что прибор выйдет из строя за 1-ый
год работы равна 0.4. Вероятность того,
что это произойдёт за первые два года
,
а за первые три года
.
Найти вероятность того, что прибор
проработает более трёх лет.
Неправильное
решение. Найдём
вероятность того, что прибор выйдет из
строя за первые три года работы.
,
что уже абсурдно. Тогда вероятность
того, что прибор проработает безотказно
в течение трёх лет равна
.
Т.е. так вычислять никак нельзя.
Правильное решение
В
задаче много лишних параметров дано.
Нам достаточно того, что вероятность
отказа за первые три года
.
Тогда вероятность того, что прибор
проработает более трёх лет
Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).
Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:
Пример 3. Пусть известно, что вероятность поломки прибора за первые два года жизни равна 0.01, за второй и третий год – 0.05, а за первые три года вместе – 0.04. Какова вероятность того, что прибор откажет на втором году жизни.
Тогда вероятность того, что прибор откажет на втором году жизни равна 0.02.