- •Основные понятия теории вероятностей. События
- •Классификация событий.
- •Операции над событиями.
- •Классическое определение вероятности случайного события
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Аксиомы теории вероятностей.
- •Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей
- •Теоремы сложения вероятностей
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
- •Формулы умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности
- •Одномерные случайные величины
- •Понятие случайной величины
- •Законы распределения случайной величины
- •Функция распределения вероятностей и ее свойства
- •Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии случайных величин
- •Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин
- •Надёжность: основные понятия и определения
- •Основные понятия
- •Показатели надёжности
- •Показатели надежности – количественные и комплексные.
- •Основные показатели безотказности объектов Вероятность безотказной работы
- •Средняя наработка до отказа
- •Интенсивность отказов
- •Средняя наработка на отказ
- •Параметр потока отказов
- •Основные показатели долговечности Средний срок службы (математическое ожидание срока службы)
- •Средний ресурс (математическое ожидание ресурса)
- •Основные показатели ремонтопригодности
- •Среднее время восстановления
- •Интенсивность восстановления
- •Комплексные показатели надежности Коэффициент готовности
- •Коэффициент оперативной готовности
- •Коэффициент технического использования
- •Основные математические модели, наиболее часто используемые в расчётах надёжности. Распределение Вейбулла
- •Экспоненциальное распределение
- •Распределение Рэлея
- •Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •Примеры использования законов распределения в расчетах надежности
- •Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения
- •Определение показателей надежности при распределении Рэлея
- •Определение показателей схемы при распределении Гаусса
- •Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по опытным данным
- •Надёжность невосстанавливаемой системы при основном соединении элементов Определение вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа
- •Пример расчета надежности системы, собранной по основной схеме
- •Порядок решения задач надёжности. Исходные положения
- •Методы расчета надежности
- •Надёжность невосстанавливаемых резервированных систем
- •Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью
- •Надежность системы с нагруженным дублированием
- •Общее резервирование замещением
- •Надежность системы при раздельном резервировании и с целой кратностью по всем элементам
- •Смешанное резервирование неремонтируемых систем
- •Надёжность восстанавливаемых систем
- •Надежность восстанавливаемой одноэлементной системы
- •Надежность нерезервированной системы с последовательно включенными восстанавливаемыми элементами
- •Надежность восстанавливаемой дублированной системы
- •Надежность восстанавливаемой системы при различных способах резервирования элементов
Операции над событиями.
При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.
Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Сумма событий обозначается так:
Например, если событие есть исправная работа изделия в течение первого часа работы, а событие – исправная работа изделия в течение второго часа работы, то событие есть исправная работа изделия либо в течение первого часа либо в течение второго.
Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Произведение событий обозначается
Например, если событие есть исправная работа изделия в течение первого часа работы, а событие – исправная работа изделия в течение второго часа работы, то событие есть исправная работа в течение всего времени.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие состоит в попадании точки в область A, событие — в попадании в область B, тогда событие состоит в попадании точки в жёлтую область на рис. 1, и событие — в попадании точки в область, желтую область на рис. 2.
Рис. 1
Рис. 2
Классическое определение вероятности случайного события
Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.
Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
Вероятность события будем обозначать символом .
Если у нас есть равновероятных событий, а событие наступает в случаях, то вероятностью события назовём число равное отношению к .
|
(1.1) |
Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число , число случаев , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).
Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:
Отметим свойства вероятности.
Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию , то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления , так как в этом случае ;
Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления , так как в этом случае :
Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.
Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события и равно единице минус вероятность наступления события :
Где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события .
|
(1.2) |
Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.
Пример 1. Найти вероятность того, что, кинув два кубика, сумма точек окажется равной 3.
Решение. Количество различных комбинаций равно . Рассмотрим благоприятные комбинации: если на первом кубике выпадает 1, а на втором – 2, если на первом кубике выпадает 2, а на втором – 1. Таким образом, вероятность, что на двух кубиках в сумме будет 3, равна .