Надежность системы с нагруженным дублированием

Способ нагруженного дублирования является частным случаем общего нагруженного резервирования с целой кратностью, m = 1, то есть на одну основную цепь приходится одна резервная цепь, находящаяся под нагрузкой. На рис. 6.4 (изображена расчетная схема надежности).

Система откажет к моменту времени , если к этому моменту времени откажут обе цепи. Т.к. оба эти события независимые, то вероятность того, что оба элемента откажут, будет равна:

Отсюда получаем, что вероятность безотказной работы системы к моменту времени равна:

Если (т.е. обе цепи равнонадёжные), то вероятность безотказной работы системы будет вычисляться по формуле:

(6.13)

В случае экспоненциального закона распределения для отказов каждой из цепи:

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

(6.14)

Определим зависимость интенсивности отказов системы от времени:

(6.15)

Найдём производную

(6.16)

Для построения графика (рис. 6.5) определим предельные значения этой функции:

Из рисунка видно, что интенсивность отказов системы со временем возрастает. Это говорит о том, что при большом вероятность отказа одной из цепей высока, и система может перейти в режим работы с одним элементом . Отметим также начальный этап (когда ). Эта система имеет очень высокую надежность ( ).

На рис. 6.6 представлен график функции , построенный по зависимости (6.13). Там же дан график основной цепи (без резерва).

Рис. 6.6. Зависимость вероятностей безотказной работы основной цепи и системы из двух элементов от и

Из рис. 6.6 видно, насколько повышается надежность системы (схемы), переведенной в режим нагруженного дублирования. Если учесть, что в системе электроснабжения при профилактических работах, связанных с подготовкой электроустановок к работе зимой или для производства летних работ, многие электроустановки планово отключаются два раза в год, то при   , ( ), значение .

Этого уровня надежности электроснабжения широкого круга потребителей зачастую оказывается достаточно. За счет технического обслуживания достигается высокий уровень надежности неремонтируемых систем, работающих по способу нагруженного дублирования значительное время.

В заключение следует отметить, что если дублированную неремонтируемую систему включить на значительный срок без технического обслуживания, то уровень надежности системы окажется недопустимо низким.

Общее резервирование замещением

В электроснабжении широко используется метод повышения надежности системы за счет использования резервной цепи, находящейся в ненагруженном состоянии. Последняя автоматически включается при отказе основной цепи. Опираясь на результаты, описанные в подразделе 6.1, проанализируем только вариант дублирования замещением, так как в большинстве случаев на практике оказывается достаточно одной резервной цепи (в трансформаторных подстанциях, линиях электропередачи, кабельных линиях).

Предположим, что приборы, обнаруживающие отказ основной цепи, и выключатели, отключающие отказавшую цепь и включающие резервную, также абсолютно надежны. Резервная ненагруженная цепь, находящаяся в режиме ожидания, своих характеристик не меняет и работоспособна. Каждая из цепей состоит из последовательных элементов (рис. 6.7). Поток отказов простейший.

Пусть для любого справедливо:

Поскольку справедлив экспоненциальный закон распределения, можно записать:

Таким образом, анализируемая система приобретает вид:

Рассмотрим события, которые могут произойти с системой на отрезке времени . Проанализируем возможные гипотезы.

1. Основная цепь отработала успешно все время и резервную цепь (1) включать не потребовалось. Вероятность этого режима работы системы - .

1. Основная цепь отработала только отрезок и отказала. При этом сразу же включилась резервная цепь и успешно проработала до конца времени t с вероятностью безотказной работы .

Чтобы заработал второй режим необходимо совпадение двух событий - отказ основной цепи и успешная работа включенной под нагрузку резервной цепи. Математической оценкой совпадения этих событий является произведение их вероятностей. На рис. 6.9 изображен график плотности вероятности появления отказа основной цепи . Выделим достаточно малый интервал , следующий за отрезком . Произведение . Заштрихованная площадка, численно равна вероятности отказа основной цепи на интервале . Запишем вероятность того, что отказала основная цепь, но при этом успешно вошла в работу резервная цепь и проработала до момента :

Рис. 6.10. График функции системы дублированной замещением

(- - - нагруженное дублирование)

В соответствии с формулой полной вероятности, вероятность безотказной работы анализируемой системы в течение времени определяется по выражению:

где - вероятность безотказной работы цепи "1" в течение времени t при условии, что отказ основной цепи "0" произошел в момент (на интервале ). Исходя из условия, что резервная цепь "1" до момента включения своей надежности не теряет, то есть работоспособна, а отказ основной цепи с последующим мгновенным включением резервной цепи может произойти на интервале от до :

(6.17)

Таким образом, учитывая обе гипотезы, на основе формулы полной вероятности запишем выражение вероятности безотказной работы системы

(6.18)

Рассматривая случай экспоненциального закона надёжности, запишем:

Подставим в выражение (6.18). Получим:

Таким образом,

(6.19)

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Таким образом, получаем:

(6.20)

Вычислим интенсивность отказов системы по формуле:

Сначала посчитаем, чему равна производная :

Отсюда получаем:

(6.21)

На рис. 6.10 изображен график интенсивности отказов системы, дублированный по способу замещения. Из формулы (6.21) видно, как эта функция монотонно возрастает от нуля до , т.к.  

В первоначальный момент времени интенсивность отказов дублированной системы, очень низкая  . Если такую дублированную систему включить на длительный срок, то выигрыш в надежности уменьшается. Это легко объясняется тем, что с увеличением времени возрастает вероятность отказа основной цепи. При ее отказе вводится в работу резервная цепь с интенсивностью отказов .

Сравнивая графики для систем нагруженного дублирования (рис. 6.5), и дублирование замещением (рис. 6.10), видим, что они похожи друг на друга: на начальном этапе работы надежность их высока. На практике важно знать, какой из схем следует отдать предпочтение. Для этого построим график, на котором изображены кривые системы при различных способах дублирования (рис. 6.11).

На интервале  обе схемы, нагруженного дублирования и дублирования замещением, при одном и том же оборудовании по уровню надежности практически идентичны. В практических условиях эту разницу ощутить очень трудно. Так, если средняя наработка до отказа основной цепи годам и время рабочего цикла до планового отключения системы составляет года (один раз в квартал), то:

При этом вероятность безотказной работы схемы нагруженного дублирования , а вероятность безотказной работы схемы дублирования замещением составит .

В этих условиях выбор схемы включения системы может определить экономический фактор. К примеру, в схеме электроснабжения потребителя используется два кабеля из расчета 100%-го резерва. В начале и конце каждой цепи включены выключатели, отключающие соответствующий отказавший (пробитый) кабель с обеих сторон. При схеме нагруженного дублирования потеря мощности в кабелях составит:

где - ток потребителя;

- сопротивление цепи одного кабеля.

В схеме дублирования замещением:

То есть потери мощности в два раза больше. Таким образом, при практически одинаковом значении вероятностей безотказной работы обоих схем в пределах выбранного цикла наработки до планового отключения, вторая схема дублирования замещением экономически не выгодна.

В заключение отметим, что если возникнет необходимость оценки надежности системы, включенной по схеме общего резервирования замещением с целой кратностью, при (см. рис. 6.12), то следует пользоваться расчетными формулами:

Предположим, система имеет три резервных цепи ( ),  . Тогда для часам:

Итак,