Статистическое определение вероятности

Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Частота появления событий при многократно повторяющихся опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности, но можно вычислить вероятность приблизительно.

Пример 2. На испытание было поставлена 1000 одинаковых лампочек. За 1 год непрерывной работы испортилось 100 лампочек. Какова вероятность того, что лампочка проработает 1 год?

Решение. Так как за один год испортилось 100 лампочек, то 900 лампочек остались в рабочем состоянии. А, значит, количество благоприятных исходов , а общее число . Отсюда найдём вероятность того, что лампочка не испортится.

Геометрическая вероятность

Рис. 3

В классическом определении вероятности рассматриваются все равновозможные события. На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности.

Пусть на плоскости задана некоторая область площадью , в которой содержится другая область площадью (рис. 3). В область наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области , и вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область

(1.3)

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

Пример 3.

На круглой мишени радиусом 20 см имеется чернильное пятно, площадью. Какова вероятность того, что, если стрела попадает в мишень, она попадёт ещё и в чернильное пятно?

Рис. 4

Решение. Обозначим событие — "выстрел попал в чернильное пятно". Тогда . Вероятность получена как отношение площади части мишени с чернильным пятном к площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.