Плотность распределения вероятности и ее свойства

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения равна производной от функции распределения , т. е.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина появляется в некоторой окрестности точки при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от до , т. е.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до . Определить функцию распределения и построить ее график.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим . Следовательно, плотность распределения можно выразить так:

График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

Таким образом, имеем

График функции распределения изображен на рис. 11

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину , принимающую значения с вероятностями соответственно . Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание :

Учитывая, что получаем

(4.1)

Итак, математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку ,

(4.2)

Используя функцию распределения вероятностей , математическое ожидание случайной величины можно выразить так: