16. Закон Био — Савара- Лапласса. Магнитное поле, создаваемое круговым током, бесконечным прямолинейным проводником с током.

Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по которому течет ток. Рассмотрим малый элемент провода длины dl. В этом элементе содержится nS dl носителей тока (n — число носителей в единице объема, S — площадь попе- речного сечения провода в том месте, где взят элемент dl). В точке положение которой относительно элемента dl определяется радиусом-вектором г (отдельный носитель тока е создает поле с индукцией .

Здесь v — скорость хаотического движения, а u — скорость упорядоченного движения носителя.

Значение магнитной индукции, усредненное по носителям тока, заключенным в элементе dl, равно =

(<v>=0). Умножив это выражение на число носителей в элементе провода (равное nS dl), получим вклад в поле, вносимый элементом dl: (мы внесли скалярные множители n и е

под знак векторного произведения). Приняв во внимание, что ne<u>=j, можно получить Введем вектор , направленный по оси элемента тока длиной в сторону, в которую течет ток. Модуль этого вектора равен dl. Поскольку направления векторов j и dl совпадают, имеет место равенство

Произведя такую замену в формуле для dB, получим

Учли, что произведение Sj дает силу тока I в проводе, придем к окончательному выражению, определяющему магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока длины dl:

Мы вывели формулу. В действительности последняя формула была установлена экспериментально.

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельным, элементарными участками токов.

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу , которая носит название закона Б ио — Савара — Лапласа или более кратко закона Б и о — Савара .Из рис. 42.1видно, что вектор dB направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через dl и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг dl в направлении dB связано с dl правилом правого винта. Модуль dB определяется выражением

г де α— угол между векторами dl и г. Применим формулу закона Б-С-Л для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 42.2 Сав 122). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж).

Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода.

Из рис. 42.2 видно, что Подставим эти значения в формулу

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется от 0 до π. Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей

(рис. 42.3 Сав 122).

16. Магнитное поле кругового контура с током

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока (рис. 47.1 Сав. 138).

Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение dВ сводится к сложению их модулей.

По формуле (α=π/2). Проинтегрируем это выражение по всему контуру:

Выражение в скобках равно модулю дипольного магнитного момента p_m. Следовательно, магнитная индукция в центре кругового тока имеет величину

Из рис. 47.1 видно, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру, т. е. с направлением вектора p_m. Поэтому последнюю формулу можно написать в векторном виде:

Теперь найдем В на оси кругового тока на расстоянии г от центра контура (рис. 47.2 Сав.138). Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент dl и точку, в которой мы ищем поле. Следовательно, они образуют симметричный конический веер (рис. 47.2, б, Cfd 138). Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор В направлен вдоль оси контура

. Каждый из составляющих векторов dB вносит в результирующие вектор вклад , равный по модулю . Угол α между dl и b прямой, поэтому

Проинтегрировав по всему контуру и заменив b на получим

.Эта формула определяет величину магнитной индукции на оси кругового тока.

Приняв во внимание, что векторы В и p_m имеют одинаковое направление, можно написать последнюю формулу в векторном виде: .

Это выражение не зависит от знака г. Следовательно, в точках оси, симметричных относительно центра тока, В имеет одинаковую величину и направление. При г=0 формула переходит, как и должно быть , в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока. На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь R² по сравнению с г². Тогда формула принимает вид .