Пошаговое решение системы линейных уравнений методом Гаусса

На рис.2.3.3. приведены результаты пошагового решения методом Гаусса следующей системы линейных уравнений:

Рис.2.3.3. Решение СЛУ методом Гаусса

Введите на рабочем листе исходные данные. Для этого:

1. В ячейки диапазона А2:С4 введите коэффициенты системы, стоящие при неизвестных.

2. В ячейках диапазона D2:D4 задайте свободные члены.

Прямая прогонка метода Гаусса:

1. Через буфер обмена скопируйте диапазон A2:D2 на A6:D6.

2. Выберите диапазон A7:D7.

Введите в него следующую формулу и завершите ее ввод нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

=A3:D3-$A$2:$D$2*A3/$A$2

4. Выберите диапазон A7:D7, расположите указатель мыши на маркере заполнения для этого диапазона и пробуксируйте его вниз на одну строку.

5. Выделите диапазон A6:D7 и скопируйте его содержимое в буфер обмена.

6. Выберите ячейку А10.

7. Выберите команду Специальная вставка (Вкладка ленты Главная, группа команд Буфер обмена – Вставить – Специальная вставка). На экране отобразится диалоговое окно Специальная вставка (рис.2.3.4.). выберите переключатель значения в группе Вставить и нажмите кнопку ОК. В результате в диапазон А10:D10 из диапазона A6:D7 будут скопированы только значения, а не формулы.

Рис.2.3.4. Диалоговое окно «Специальная вставка»

8. Выделите диапазон А12:D12.

9. Введите в него следующую формулу и завершите ее ввод нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>:

=А8:D8-

Обратная прогонка:

1. выберите диапазон F8:I8.

2. Введите в него следующую формулу и завершите ее ввод нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

=А12:D12/С12

3. Выделите диапазон F7:I7.

4. Введите в него следующую формулу и завершите ее ввод нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>:

=(А11:D11-F8:I8*С11)/В11

5. Выберите диапазон F6:I6.

6. Введите в него следующую формулу и завершите ее ввод нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>:

=(А10:D10-F7:I7*B10-F8:I8*C10)/A10

Итак, решением системы уравнений является следующий вектор

. (диапазон ячеек I6:I8).

4. Математические модели

   1. Основные понятия

Математическая модель — это модель, созданная с помощью математических понятий.

Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю.

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих рассматриваемый процесс.

Для составления математической модели необходимо:

1. выбрать переменные задачи;

2. составить систему ограничений;

3. задать целевую функцию.

Переменными задачи называются величины , которые полностью характеризуют рассматриваемый процесс. Их обычно записывают в виде набора значений .

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других условий, например, условия положительности переменных.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум (то есть наибольшее или наименьшее значение) которой требуется найти.

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти переменные задачи , которые обеспечивают наибольшее или наименьшее значение целевой функции

и удовлетворяют системе ограничений

.

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования.

Допустимым решением задачи линейного программирования называется любой набор из n значений , удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности. Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений.

Оптимальным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума (наибольшего или наименьшего значения).