Дифференциальное исчисление функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть функция определена в точкеи некоторой ее окрестности. Придадим аргументуприращениетакое, что точкапопадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при(если этот предел существует и конечен), т.е.
.
Обозначают: ,,,.
Производной функции в точкесправа (слева) называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают: ,– производнаяв точкесправа,
,– производнаяв точкеслева.
Очевидно, что справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Функция имеет производную в точкетогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
.
Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция имеет производную в точке, то функцияв этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при.
⇒ ;
⇒
.
Но это означает, что непрерывна в точке(см. геометрическое определение непрерывности). ∎
Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке. Например, функциянепрерывна, но не имеет производной в точке. Действительно,
,
,
и, следовательно, не существует.
Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве. Ее называютпроизводной функции и обозначают
, ,,.
Операцию нахождения для функции ее производной функции называютдифференцированием функции .
ГЕОМЕТРИЧЕЧКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
1) Физический смысл производной. Если функция и ее аргументявляются физическими величинами, то производная– скорость изменения переменнойотносительно переменнойв точке. Например, если– расстояние, проходимое точкой за время, то ее производная– скорость в момент времени. Если– количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени, то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.
2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой.
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называетсясекущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точкастремится к, двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
Рассмотрим кривую (т.е. график функции). Пусть в точкеон имеет невертикальную касательную. Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент).
По определению углового коэффициента
,
где – угол наклона прямойк оси.
Пусть – угол наклона секущейк оси, где. Так как– касательная, то при
,
⇒ ,
⇒ .
Следовательно,
.
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой в точкеможно записать в виде
Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке, называетсянормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , то уравнение нормали к кривойв точкебудет иметь вид
, если .
Если же , то касательная к кривойв точкебудет иметь вид
,
а нормаль .
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
Уравнение касательной
Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной:
y/(x)=limΔx→0ΔyΔx
Δy=f(x+Δx)−f(x).
Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или
y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.
Уравнение нормали
Нормаль - это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:
tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)
Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:
tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).
Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:
y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция имеет производную в точке, то функцияв этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при.
⇒ ;
⇒
.
Но это означает, что непрерывна в точке(см. геометрическое определение непрерывности). ∎
Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке. Например, функциянепрерывна, но не имеет производной в точке. Действительно,
,
,
и, следовательно, не существует.
Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве. Ее называютпроизводной функции и обозначают
, ,,.
Операцию нахождения для функции ее производной функции называютдифференцированием функции .
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.