Производная произведения

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

4. Т е о р е м а  1. Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция

(1)

имеет производную (по ) в точке  и справедливо равенство

                                                      (2)

или

.                                                             (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим , ему соответствует значение . Придадим  приращение , это вызовет приращение . Так как функция  имеет производную в точке , то на основании равенства (2) § 4.1, имеем

,                                               (4)

где  при .

Будем считать, что . Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него , то получится .

Разделим теперь равенство (4) на :

.                                               (5)

Пусть   стремится к нулю. Тогда , потому что функция  имеет производную в точке  и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенство (5) к пределу при . Тогда  и , поэтому получим

.

Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если , ,  и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то .

П р и м е р  1.   .

Полагаем , , . Тогда

.

П р и м е р  2.  .

Полагаем . Тогда

.

Обычно при вычислениях вспомогательные переменные  не вводят, а только подразумевают их.

В случае примера 1 вычисления выглядят так:

.

Или еще короче

.

5. Дифференцируемая (в точке) функция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке)

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью функции и существованием у этой функции производной.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) имела в произвольной точке x₀ конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Докажем необходимость. Предположим, что функция y=f(x) имеет в точке x₀  конечную производную, т.е.  = (x₀). Это значит, что при ∆x→0 →(x₀), или [─(x₀)] →0. Обозначим эту разность через :  = ─(x₀).

Тогда  =(x₀) +, ∆y =(x₀) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0, т.е.  = 0. Обозначим (x₀) через A. Тогда ∆y = A ∆ x + ∆ x. Докажем, что ∆ x есть o(∆x). Действительно, .

Итак, ∆y = A ∆ x + o(∆x), т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x_0.

Докажем достаточность. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀. Тогда в этой точке ∆y = A ∆ x + o(∆x),  = A + .

(x₀) =  = A +  = A + 0 = A, т.е. функция y=f(x) имеет в точке x₀  конечную производную, равную A.

Таким образом, мы доказали, что если функция имеет в некоторой точке конечную производную, то она и дифференцируема в этой точке, и наоборот, если она дифференцируема, то она имеет конечную производную. Поэтому мы имеем право отождествить понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у функции в данной точке производной.

В ходе доказательства теоремы 6.1 мы выяснили, что постоянная A в выражении для приращения ∆yдифференцируемой функции y=f(x) в некоторой точке x совпадает с производной функции в этой точке (x): A = (x). В параграфе 5 мы установили соотношение между дифференциалом функции и дифференциалом независимого аргумента: dy = A dx. Теперь это соотношение можно переписать в виде dy =(x) dx.

В ходе доказательства этой теоремы мы установили ещё и то, что приращение дифференцируемой функции можно представить в виде

∆y =(x₀) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0.

6. Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента x₀ a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x₀+∆x)a;b). При этом функция получит приращение ∆y=f(x+∆x) ─ f(x). Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если её приращение в этой точке можно представить в виде

∆y=A ∆x + o(∆x),

где A - некоторая постоянная, а o(∆x) — величина более высокого порядка малости, чем ∆x, т.е.  = 0. Выражение A ∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке x₀, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается символом dy или df(x₀). При этом приращение независимой переменной ∆x называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать: dy = A dx. Если A≠0, то при ∆x→0 второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A∆x). При этом приращение функции ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения функции.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точкуM(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM₁. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M₁(x+Δx; y+Δy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

СВОЙСТВА

7. Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точкеu₀ = u(x₀), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем

 

df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.

Так как u ^'(x₀)dx = du, то

df(u(x)) = f '(u0)du

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью).

Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u), u=u(x) дифференцируемы, тогда

 

Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала, когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.