8. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде.

• Производная обратной функции

Дифференцируемая монотонная функция f: ]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f ^-1, производная которой вычисляется по формуле

• Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,

где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

• Производная неявно заданной функции

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

• Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции: 

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что

(*)

Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции.

Пример:

Найдём производную функции у = х^x. Поскольку lny= xlnx, легко найти логарифмическую производную:

Теперь с помощью формулы (*) получим:

9. Таблица производных КРОМЕ 15-18!

• Теорема Ферма

Если функция имеет производную и в точке имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Доказательство

Пусть - точка минимума. Тогда при . Значение выражения . Значит, . Рассмотрим теперь , при этом также , и выражение . Значит, правая производная . . Из ранее доказанного следует: . Теорема доказана.

 

Геометрический смысл теоремы Ферма Существует такая точка , в которой касательная параллельна осиOx.  Замечания В точке экстремума может не быть производной. Пример: ,- точка минимума, но.

2. Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример: , но точка 0 - не экстремум.

Теорема Ролля

Пусть:

1. Функция непрерывна на отрезке : ;

2. Для любого x из интервала существует производная: ;

3. Значения функции на концах отрезка равны: .

Тогда существует такое , что производная .

Доказательство

1. Функция непрерывна существуют .

2. Если , то функция является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.

3. Если же , то оба значения не могут достигаться в концевых точках, т.к. и . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма 17.1  

Замечания:

1. Существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. рисунок к теореме Ферма).

2. Все условия теоремы Ролля существенны, т.е. нельзя отбростиь хотя бы одно из них.

Первое следствие теоремы Ролля

Пусть:

1. Функция непрерывна на отрезке : ;

2. Функция дифференцируема на интервале : ;

3. Сужествуют такие, что .

Тогда такие, что .

Доказательство

Рассмотрим отрезок . Данный отрезок удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Тогда .

Применив теорему Ролля k раз, доказываем данное следствие.

Второе следствие теоремы Ролля

Пусть:

1. Существует функция, имеющая n производных, непрерывных на отрезке : ;

2. Для любого x из интервала существует n+1 производная: ;

3. Значения .

Тогда существует такая точка .

Доказательство

1. По теореме Ролля для на отрезке .

2. Рассмотрим отрезок , на котором непрерывна. Тогда существует производная на интервале . Так как . Значит, существует точка такая, что . Рассмотрим отрезок , на котором непрерывна. Значит, . На n-ном шаге имеем: . Рассмотрим на . 

3. Функция непрерывна на , значит, она непрерывна и на : ;

4. Для любого x из существует n+1 производная: ;

5. Значения ее на концах равны: .

Данные 3 заключения удовлетворяют условию теоремы Ролля. Значит, .

• Теорема Лагранжа

Пусть:

1. Функция непрерывна на отрезке : ;

2. Функция дифференцируема на интервале : 

.

Тогда существует такая точка , что .

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию .

1. Эта функция непрерывна, т.к. , - непрерывна.

2. Данная функция имеет производную , так как для любого .

3. Значения на концах равны: , .

Эти 3 рассуждения удовлетворяют условию теоремы Ролля, следовательно, . Таким образом, , .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа . То есть существует такая точка c, что касательная к графику в этой точке параллельна хорде.

Первое следствие теоремы Лагранжа.

(Критерий постоянства функции на промежутке).

Пусть существует множество , и для всякого значение производной равно 0. Тогда данная функция является постоянной, т.е. .

Доказательство

. Очевидно, что .

. Достаточно доказать, что . Ранее доказано, что из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность. Поэтому , и, в частности, . Так как и . Значит, по теореме Лагранжа, такое, что , т.к. . Следовательно, .

Данное следствие часто называется основной леммой интегрального исчисления.

Замечание

Если X состоит из нескольких отрезков, то функция будет постоянной на каждом из этих отрезков, но эти постоянные могут быть не равны.

Второе следствие теоремы Лагранжа.

Если для любого значение производной больше 0, то эта функция возрастает на интервале . (Если меньше 0 - убывает).

Доказательство

Пусть существуют такие, что . Функция непрерывна на отрезке , так как она дифференцируема на и . Тогда , т.е. дифференцируема и на . Значит, по теореме Лагранжа, . Так как всегда , то значение непосредственно зависит от значения производной. То есть знак функции совпадает со знаком производной.

Третье следствие теоремы Лагранжа.

Пусть X - некоторый промежуток, и значения производной на этом промежутке ограничены числом C: . Тогда функция равномерно непрерывна на данном промежутке.

Доказательство

Требуется доказать, что (см. определение равномерной непрерывности). По теореме Лагранжа имеем: . Обозначив , получаем: . 

Пример: функция , имеющая ограниченную производную ,. Данная функция действительно является равномерно непрерывной.

• Теорема Коши

 Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x)  0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a <  < b, такая, что

.

 

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке . Примеры решения задач курс лекций Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление

  Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка  для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

 Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка ,

a <  < b, такая, что F() = 0. Т.к.

, то

 

 А т.к. , то 

25