Законы распределения дискретных случайных величин
Биномиальный закон распределения
Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1.2,...,m,...,n с вероятностями
,
где 0<p<1, q=1-p, m=0,1,2,…,n.
Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х-=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, задаются формулами:
M(X)=np; D(X)=npq.
Пример 2.5.29. Найти закон распределения случайной величины - числа угадывания положения шарика под тремя стаканчиками в 10 опытах.
Решение:
Очевидно, что р = 1/3
.
Проведем вычисления по этой формуле и построим ряд распределения.
Получим:
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0,01 |
0,08 |
0,19 |
0,26 |
0,28 |
0,13 |
0,05 |
0,01 |
0,03 |
0 |
0 |
Из таблицы видно, что вероятнее всего, что из 10 попыток мы обнаружим шарик 3-4 раза. Если нам ни разу не повезло, то вероятность этого события крайне мала, и игра подчиняется не случайному закону.
Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1,2,..., m,...,n с вероятностями
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона:
M(X)=λ, D(X)=λ.
Распределение Пуассона - частный случай биномиального закона распределения для больших n.
Непрерывные случайные величины
Непрерывной называют случайную величину Х, функцию распределения которой F(x) можно представить в виде
.
Функцию р(х) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X.
Плотностью вероятности
(плотностью распределения) φ(х)
непрерывной случайной величины X
называется производная ее функции
распределения:
.
Рис 2.5.11. Графики функций φ(x) и F(x)
Свойства плотности вероятности
1. Плотность вероятности - неотрицательная функция.
Рис.2.5.12. Вид плотности вероятности
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b:
.
3. Функция распределения случайной величины может быть выражена через ее плотность по формуле:
.
4. Площадь фигуры, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1
.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения φ(x) называется число а = М(Х), определяемое равенством:
.
2. Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Свойства математического ожидания и дисперсии те же, что и для числовых характеристик дискретных величин.