Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [а,b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его, т.е.
Функция распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону, есть
ее математическое
ожидание
.
и дисперсия
Рис.2.5.13. Графики функций φ(x) и F(x)
Пример 2.5.30. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не более полминуты? Найти математическое ожидание величины X— времени ожидания поезда.
Решение
Случайная величина X - время ожидания поезда - имеет равномерный закон распределения с параметрами а=0, b=2:
Вероятность того, что ждать поезда пассажиру придется не более полминуты, равна 1/4.
Рассчитаем теперь среднее время ожидания поезда - величину М(Х): М(Х)=(0+2)/2=1мин.
Контрольные вопросы
Что называется случайной величиной?
Приведите пример дискретной случайной величины.
Назовите числовые характеристики случайной величины.
Какие свойства математического ожидания Вы знаете?
Что называется дисперсией случайной величины?
Что такое функция распределения случайной величины?
Какие законы распределения дискретной случайной величины Вам известны?
Основы математической статистики
Задачи математической статистики
Математическая статистика - это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей.
Согласно определению в центре внимания математической статистики, как и теории вероятностей, находятся массовые явления. Однако, если в теории вероятностей рассматриваемые законы распределения случайных величин и их характеристики были заранее известны, то при решении задач математической статистики положение совершенно иное. Единственный способ получения информации о случайной величине - это проведение экспериментов. И вес характеристики должны быть получены по экспериментальным данным.
При этом надо иметь в виду, что всякий эксперимент связан с ошибками наблюдений и измерений, поэтому характеристики получаются приближенными. Кроме того, при проведении опытов всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, что также сказывается на точности полученных выводов. Поэтому одна из основных задач математической статистики состоит в том, чтобы по экспериментальным данным сделать выводы о параметрах распределения, например, определить их приближенные значения (оценки) и указать ошибку их определения. Кроме того, важным разделом является статистическая проверка предположений (гипотез) о законах распределения случайных величин, равенстве математических ожиданий, дисперсии и т.п. Таким образом, основные задачи математической статистики заключаются в следующем:
1. Статистическое оценивание параметров законов распределения.
2. Статистическая проверка гипотез.