5. Операции над матрицами, их свойства

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и элементы, стоящие на одинаковых местах совпадают.

Матрицы одинаковой размерность можно складывать. Суммой двух матриц А и В является матрица С таклй же размерности, элементы которой определяются равенством: c_ij = a_ij + b_ij.

Пример 2.3.7.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица λА, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.

Пример 2.3.8.

Если в матрице А поменять местами строки и столбцы. то получится матрица А^Т, которая называется транспонированной к матрице А.

Пример 2.3.9.

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы в, то определено произведение матриц А и В, т.е. новая матрица С = АВ, в которой каждый элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы а на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В, т.е.

Пример 2.3.10.

Если число столбцов матрицы А и число строк матрицы В различны, то произведение АВ не определено.

Примечание. Произведение АВ и произведение ВА не обязвны совпадать, т.е. АВ ≠ ВА.

6. Свойства операций над матрицами

1) А+В = В+А.

2) λ(А+В) = λА + λВ.

3) (АВ)С = А(ВС).

4) (А+В)С = АС+ВС.

5) С(А+В) = СА + СВ.

6) (А+В)^Т = А^Т + В^Т.

7) (λА)^Т = λА^Т.

8) (АВ)^Т = В^ТА^Т.

7. Обратная матрица и ее вычисление

Определение. Квадратная матрица Е вида называется единичной матрицей. она обладает свойствами единицы, т.е. для любой квадратной матрицы А одинакового с е порядка справедливо АЕ = ЕА = А.

Определение. Пусть А и В квадратные матрицы одного порядка. матрица в называется обратной к матрице а, если АВ = ВА = Е.

Пример 2.3.11. Для матрицы обратной матрицей будет матрица .

Действительно,

Обратная к А матрица обозначается А^-1. Заметим, что не каждая квадратная матрица имеет обратную.

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Если квадратная матрица А имеет обратную, то только одну.

Найти обратную матрицу можно по приведенному ниже алгоритму.

АЛГОРИТМ нахождения обратной матрицы.

1) Находим определитель Δ матрица А. Если Δ = 0, то А^-1 не существует. Если Δ ≠ 0, то переходим к п.2.

2) Вычисляем алгебраические дополнения А_ij каждого элемента матрицы А и составляем из них матрицу

3) Транспонируем полученную матрицу.

4) Умножаем полученную матрицу на число .

Пример 2.3.12. Найти А^-1 для

1)

Для вычисления Δ сначала прибавили к третьей строке первую, умноженную на (-1), а затем выполнили разложение по первому столбцу.

2)

3)

4)

Проверка:

8. Системы линейных уравнений

Система уравнений вида

(1)

называется системой линейных уравнений.

Здесь х₁, ...., х_n – неизвестные,

а₁₁, ...., a_mn – заданные коэффициенты при неизвестных,

b₁, ....,b_m – заданные свободные члены.

Коэффициенты а₁₁, ...., a_mn можно записать в виде матрицы

которая называется матрицей системы уравнений. Неизвестные х₁, ...., х_n и свободные члены b₁, ....,b_m записываются в в виде столбцов.

и ,

которые называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов.

Используя эти обозначения и определения действий над матрицами, систему уравнений (1) можно записать в матричном виде т.е.

или в векторном виде

Решением системы линейных уравнений называется такой набор значений неизвестных, т.е. столбец , при подстановке которого в уравнения системы каждое уравнение превращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если система не имеет ни одного решения, она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если решений больше, чем одно.

Система уравнений называется однородной, если в столбце свободных членов все элементы нулевые. Если же в столбце свободных членов есть хотя бы один ненулевой элемент, система называется неоднородной.