2. Генеральная совокупность и выборка

Обычно исследования проводятся не на единичных, а на групповых объектах объединенных по какому-либо признаку. Совокупность, таких относительно однородных, но индивидуально различных единиц наблюдения, объединяемых по некоторым качественным или количественным признакам, характеризующим эти объекты, называется совокупностью.

Чтобы получить исчерпывающую информацию о состоянии той или иной статистической совокупности, нужно учесть весь ее состав без исключения. Однако не всегда приходится прибегать к сплошному обследованию изучаемых совокупностей. Поэтому часто анализу подвергается какая-то часть, по которой и судят о состоянии всей совокупности в целом.

Совокупность всех мыслимых наблюдений или мысленно возможных объектов исследования называется генеральной.

Генеральная совокупность есть понятие условно математическое или абстрактное, а на практике обычно используется часть членов генеральной совокупности, которая носит название выборки или выборочной совокупности.

Число объектов в рассматриваемой совокупности (в генеральной или выборочной) называется объемом генеральной совокупности N и объемом выборки n соответственно.

Сущность выборочного метода заключается в том, чтобы по свойствам части (выборки) судить о численных характеристиках целого (генеральной совокупности).

Различают следующие виды выборок: повторная (каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность) и бесповторная (отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается).

Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведении интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правильно представляла пропорции генеральной совокупности, то есть булла репрезентативной (представительной). Это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.

3. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма. Полигон

В ходе экспериментов, исследователь получает набор числовых данных, отражающих результаты измерений или наблюдений исследуемых объектов. Совокупность этих числовых данных представленных в виде последовательности результатов наблюдений x₁, х₂, ...,х_n - естъ выборка из генеральной совокупности. Основная задача первичного статистического анализа состоит в том, чтобы по имеющимся экспериментальным данным охарактеризовать исследуемую генеральную совокупность небольшим числом параметров.

Если полученные данные расположить в порядке убывания или возрастания числовых значений исследуемого признака, то такой ряд чисел будет называться вариационным рядом.

В том случае, когда среди числовых данных есть одинаковые значения, их можно представить в виде таблицы. В первой строке таблицы указываются значения признака (варианты), а во второй - абсолютные или относительные частоты их встречаемости (относительные частоты можно найти по формуле , где n_i – частота встречаемости признака, n – объем выборки). Такое представление вариационного ряда еще называют статистическим распределением (рядом).

Статистическим распределением (рядом) выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk
wi	w1	w2	…	wk

Для графического изображения статистического распределения строят полигоны или гистограммы. Гистограммой называется график, по оси абсцисс которого отложены границы классов, а по оси ординат - их частота.

Для построения гистограммы весь диапазон измеряемой величины (от минимального до максимального) разбивается на равные интервалы, называемые классами. Ширину интервала можно определить по формуле Стерджеса:

,

где h - ширина интервала, х_max - максимальное, и x_min - минимальное значение выборочной величины, n - количество выборочных данных. Зная ширину интервала, определяют количество интервалов. Однако эта формула носит эмпирический характер и на практике количество интервалов выбирают в пределах 7-12.

Затем определяют количество значений выборочных данных, которые попадают в тот или иной интервал. После просмотра всех выборочных данных по значениям n_i строят гистограмму. По этой гистограмме можно построить нормированную гистограмму, в которой каждое значение n_i заменяется на значение относительных частот, которые находят по формуле ).

Пример 2.6.1. Ежедневное количество студентов, посещающих методический кабинет, на протяжении ряда дней, следующее: 15, 17, 16, 18, 20, 21, 18, 17, 20, 15, 18, 17, 16, 19, 17, 16, 18, 19, 18, 19.

Составить статистическое распределение выборки. Построить гистограмму.

Решение:

В первой строке таблицы укажем встречающиеся значения посещений, во второй, количество таких значений и, наконец, в третьей относительную частоту этих значений.

Значения признака xi	15	16	17	18	19	20	21
Частота встречаемости ni	2	3	4	5	3	2	1
Относительная частота wi	0,1	0,15	0,2	0,25	0,15	0,1	0,05

Для построения гистограммы составим таблицу:

Интервал	14,5-15,5	15,5-16,5	16,5-17,5	17,5-18,5	18,5-19,5	19,5-20,5	20,5-21,5
ni	2	3	4	5	3	2	1
wi	0,1	0,15	0,2	0,25	0,15	0,1	0,05

Полигон частот можно получить из гистограммы путем соединения срединных значений классов. График полигона частот (или относительных частот) легко построить и по статистическому распределению. На оси абсцисс, из точек х_i проводятся перпендикуляры высотой n_i/n и соединяются ломанной прямой.

Построение полигонов и гистограмм позволяет произвести первичный анализ экспериментальных данных, а именно: по форме гистограммы сделать предположение о законе распределения случайной величины; выявить наиболее часто встречающиеся значения исследуемой величины и разброс или отклонение относительно этого значения.