Распределение частоты пульса в группе из 47 человек

Значения случайной величины уд/мин	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
Значения вероятности p(xi)

Решение:

По данным таблицы построен график, который называется многоугольником распределения вероятностей.

Рис.2.5.8. Полигон распределения частоты пульса в группе из 47 человек

Пример 2.5.24. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных. Построить полигон распределения вероятностей.

Решение:

Пусть Х – случайная величина числа выигрышных билетов среди купленных двух билетов. Она может принимать значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2. Для определения вероятностей появления каждого их этих значений воспользуемся формулой Бернулли:

,

где m= 0, 1, 2 – число выигрышных билетов среди наудачу купленных n=2 билетов;

N= 10 – всего имеющихся билетов;

M = 4 – число выигрышных билетов среди всех 10 билетов.

Вычисляем соответствующие вероятности:

Для проверки вычислений сложим:

Следовательно, искомый закон распределения имеет вид:

Х	0	1	2
Р

Полигон распределения вероятностей:

2. Функция распределения

В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величина Х принимает некоторое определенное значение х_i, необходимо знать, что случайная величина X меньше х_i Эта вероятность задается интегральной функцией распределения.

Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее фиксированного действительного числах, т. е.

.

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания x₁, x₂, …, x_n, то F(x) можно задать в виде

Функцию распределения можно представить графически в виде ступенчатой функции:

Рис.2.5.9. График функции распределения

Пример 2.5.25. Используя данные таблицы из примера 2.5.24., получить интегральную функцию распределения частоты пульса.

Решение:

Интегральная функция распределение частоты пульса в группе из 47 человек.

Значения случайной величины xi, уд/мин	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76
F(xi)	0											1

Значения F(x) в таблице получены следующим образом. Вероятность того, что Р(Х<65) = 0, т.к. значений меньше 65 нет.

Тогда:

при (в том числе и при х=0);

при (в том числе и при х=66);

при (в том числе и при х=67);

………………………………………………………

при .

График интегральной функции, по данным таблицы, приведен на рис.2.5.10.

Рис.2.5.10. График интегральной функции распределения частоты пульса

Пример 2.5.26. Для примера 2.2.25. (про лотерейные билеты) составить интегральную функцию и построить ее график.

Решение:

Составим интегральную функцию, используя ее определение:

Если , то , т.к. событие - событие невозможное.

Если , то , т.е. равно вероятности события X<1, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 с вероятностью , значит .

Если , то , т.е. равно вероятности события X<2, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 или значение 1.

Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятностей равно сумме вероятностей .

Если , то . ( ).

Итак,

Построим график интегральной функции. Он представляет собой разрывную ступенчатую линию.