- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Действительно, имеем
а потому найдем
При АВ≠0
Пример 1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения ускоренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра vo = 1 м/с и ускорение центра aо — 1 м/с2 (рис. 4.1.1). Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода М1, М2, М3 и М4, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.
Рис. 4.1.1 Рис. 4.1.2
Решение.
I. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис. 4.1.2). В данном случае это точка M1 (М1 = Р): .
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС: , где ω — угловая скорость тела. Применяем эту формулу к точке О: vo =ω|ОР| = ωr, откуда ω = vo/r = 1 с–1.
Для точек М2 и М3 расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:
м/с.
Скорость точки М3 м/с. Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки с МЦС.
Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где vMO = ω|МО|. Скорость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.
Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.
2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости
.
В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касательное ускорение точки совпадает с полным ускорением.
Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу углового ускорения а центростремительное всегда направлено от точки к полюсу.
Тогда для точек М1, М2, М3 и М4 получим , . Направления их показаны на рис. 4.1.3.
Рис. 4.1.3 Рис. 4.1.4
Складывая в каждой точке три вектора, модули которых равны по 1 м/с2, получаем м/с2, м/с2.
3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:
а) все ускорения составляют один и тот же угол β с направлениями из этих точек на МЦУ:
.
В данном случае tg β = 1 и β = 45°. Повернув каждое ускорение на угол β по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 4.1.4). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывается на середине отрезка М1M4;
б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:
.
В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном случае оказываются равны между собой модули ускорений , а также . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис. 4.1.4):
.
Ответ:
ω = 1 с–1; ε = 1 с–2; = 0; м/с; = 2 м/с; ; .
Пример 2. Кривошип OA длиной 0,2 м вращается равномерно с угловой скоростью ωOA = 10 с–1 и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Ползун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 4.1.5).
Решение.
1. Определение скоростей. Вычислим скорость точки А как точки вращающегося кривошипа:
.
Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 4.1.6).
Рис. 4.1.5
Скорость vB ползуна направлена по направляющей вертикально.
Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его точек: А и В. Восставляя перпендикуляры к векторам этих скоростей, находим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.
Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .
Рис. 4.1.6 Рис. 4.1.7
Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда
.
2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускорение точки А как точки кривошипа: .
Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .
Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному
и направлено к оси вращения — точке О (рис. 4.1.5).
Для вычисления ускорения точки В воспользуемся теоремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:
. (*)
Центростремительное ускорение точки В в относительном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полюсу — точке А.
Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определено однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедленным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направлением , а вектор направим перпендикулярно отрезку ВА по ходу углового ускорения.
Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать движение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 4.1.6, 4.1.7).
Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определенное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:
.
Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения
.
Отсюда следует, что
.
Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.
Ответ: = 2 с–1; = –16 с–2; vB = 2 м/с; аВ = = 4 м/с2.
Пример 3. Круглый цилиндр А обмотан тонким тросом, конец которого В закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая трос. Значение скорости оси цилиндра определяется формулой , где g – ускорение силы тяжести; у – расстояние, пройденное центром цилиндра, отсчитываемое от начального положения, т.е. координата точки А. Точка А движется прямолинейно по вертикали. Радиус цилиндра равен r. Определить скорости четырех точек на ободе цилиндра, расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров, изображенных на рис. 4.1.8.
Решение. Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке D, где неподвижная часть троса BD соприкасается с цилиндром. В этом месте скорости точек троса и цилиндра, находящихся в соприкосновении, равны между собой и, следовательно, равны нулю. Скорости остальных точек пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей и перпендикулярны к мгновенным радиусам. Величина скорости точки Е определяется из пропорции
,
откуда, учитывая формулу (1), находим, что
. (2)
Рис. 4.1.8
Направление скорости точки Е перпендикулярно к мгновенному радиусу DE, т. е. параллельно скорости точки А. Скорости точек С и Н равны по величине, так как они отстоят от мгновенного центра скоростей, точки D, на одинаковых расстояниях DC=DH=r . Величины этих скоростей определяются из пропорции
,
откуда
, (3)
направлены эти скорости перпендикулярно к мгновенным радиусам CD и HD (рис. 4.1.8, б).
Формулы (2) и (3) определяют величину скоростей точек С,Е,Н как функцию пройденного центром цилиндра расстояния у. Найдем величину этих скоростей как функцию времени.
Так как точка А движется прямолинейно по вертикали, то
.
Отделяя переменные, имеем
Интегрируя это дифференциальное уравнение и полагая у=0 при t=0, находим уравнение движения центра цилиндра
.
Подставляя это значение расстояния у в формулы (2) и (3), получаем
Величину скорости точек С и Н можно также найти на основании теоремы о равенстве проекций скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки. Скорости точек С и Н составляют углы 45о с линией САН, а скорости точки А направлена по этой прямой. Следовательно,
откуда
Пример 4. Прямоугольник ABCD совершает плоское движение. Ускорение точки А в данный момент равно =2 см/с2 и составляет угол 30о с прямой АВ. Ускорение точки В равно =6 см/с2 и образует угол 60о с прямой ВА. Длина сторон: АВ=10 см, ВС=5 см. Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение прямоугольника, а также ускорение точки С.
Решение. Выбираем точку А за полюс. Тогда ускорение точки В
. (1)
Проектируем векторное равенство (1) на оси х и у. В проекции на ось х имеем
откуда
Рис. 4.1.9
Теперь найдем величину мгновенной угловой скорости фигуры
Проецируя векторное равенство (1) на ось у, получаем
.
Отсюда определяется вращательное ускорение точки В:
Далее находим величину мгновенного углового ускорения фигуры
.
Угловое ускорение фигуры направлено по оси z в отрицательную сторону.
Переходим к определению ускорения точки С. Согласно формуле распределения ускорений, выбирая точку В за полюс, имеем (рис. 4.1.9, б):
.
Проецируя это равенство на оси х и у, находим
Теперь легко найдется величина ускорения точки С:
.
Направление аС определится формулами
Пример 1. Кривошип ОА нецентрального кривошипно-шатунного механизма (рис. 8.2) вращается с угловой скоростью ω1. Определить скорости точек В и М, а также угловую скорость шатуна АВ для заданного положения звеньев механизма, если известно: φ =30°; ω1 = 2 рад/с; ОА = 0,4 м; АВ = 0,8 м; АМ=0,4 м; h = 0,2 м.
Рис. 8.2
Решение. Далее будут рассмотрены три способа решения задачи.
Первый способ - разложение движения звена на переносное поступательное и относительное вращательное.
Разложим движение второго звена на переносное поступательное и относительное вращательное. За полюс принимаем точку А и запишем теорему сложения скоростей для точки В.
.
.
Строим кинематическую схему механизма в выбранном масштабе (1:20), указываем на схеме направление скоростей точек A и В.
Скорость точки В направлена горизонтально, так как точка В принадлежит и шатуну и ползуну, а движение ползуна поступательное прямолинейное по горизонтали. Таким образом, траектория точки В - горизонтальная прямая, вдоль которой и направлена скорость точки В. Точка А шатуна совпадает с точкой А кривошипа ОА и движется по окружности радиуса ОА, так как движение кривошипа вращательное вокруг центра О.
Зная угловую скорость кривошипа, найдем величину скорости точки А
м/с.
Скорость направлена перпендикулярно прямой АВ, а прямая АВ образует с направлением скорости точки В угол 30° (так подобраны размеры звеньев), следовательно, скорость образует с горизонталью угол 60°, а скорость точки А перпендикулярна ОА (касательная перпендикулярна к радиусу) и образует с горизонталью также угол 60°.
Для определения скорости и скорости точки В построим в масштабе (1:40) треугольник скоростей (рис. 8.2 вверху справа).
На основании вышеизложенного этот треугольник равносторонний, следовательно,
.
Угловую скорость шатуна относительно полюса А находим по формуле
рад/с.
Заметим, что угловая скорость шатуна вокруг полюса равна абсолютной угловой скорости.
Далее, зная угловую скорость шатуна, найдем скорость точки М в соответствии с теоремой сложения скоростей для этой точки
. (8.2)
Относительную скорость можно найти по формуле
,
или графически, основываясь на том, что относительные скорости точек пропорциональны их расстояниям до полюса. Метод построения ясен из рис. 8.2.
Из треугольника скоростей (см. рис. 8.2 внизу справа) с помощью измерений по масштабу находим
м/с.
Рис. 8.3
Задачу можно решить и без построения треугольника скоростей, например, методом проекций. Найдем скорость точки В шатуна следующим образом: в точке В построим систему координат Вху (рис. 8.3), которая имеется и на рис. 8.2. Изобразим векторы скоростей и и отметим величины углов (рис. 8.3). Далее, спроектируем векторное уравнение
на ось Вх.
.
Отсюда следует, что скорость точки В по величине равна скорости точки А. Если спроектировать указанное уравнение на вертикальную ось, то сразу определяется относительная скорость и, следовательно, угловая скорость шатуна. Эта операция предоставляется студенту для самостоятельного решения.
Тот же результат получится, если использовать теорему о проекциях скоростей. Так как векторы скоростей точек А и В образуют один и тот же угол с прямой А В, то эти скорости равны по величине.
Ответ: ω2 = 1 рад/с; vB = 0,8 м/с; vM = 1,06 м/с.
Второй способ - определение скоростей точек и угловой скорости звена с помощью мгновенного центра скоростей.
На рис. 8.4 изобразим в масштабе длин кинематическую схему механизма и укажем мгновенный центр скоростей шатуна.
По построению треугольник АР2В равносторонний, следовательно, скорость точки В равна скорости точки А. Угловая скорость шатуна
рад/с.
Скорость точки М равна
.
Рис. 8.4
Расстояние Р2М можно определить измерением или найти по известной теореме косинусов
.
И тот, и другой метод дают одинаковый результат: Р2М= 0,4 м. В соответствии с этим vM = 0,4 м/с.
Ответ: ω2 = 1 рад/с; vB = 0,8 м/с; vM = 1,06 м/с.
Третий способ - разложение движения звена на два вращения.
Движение шатуна разлагаем на два вращательных движения -переносное вращение вместе с кривошипом вокруг центра О и относительное вращение вокруг центра А. Итак, точка О - центр переносного вращения, точка А - центр относительного вращения и точка Р - центр абсолютного вращения.
Рис. 8.5
Заметим, что центры переносного, относительного и абсолютного вращений лежат на одной прямой и это есть общее правило. При этом угловые скорости переносного, относительного и переносного вращений связаны соотношением
.
При решении данной задачи перепишем эту формулу в таких обозначениях:
.
Заметим, что из всех угловых скоростей известна только угловая скорость кривошипа Ш\, которая для шатуна является переносной угловой скоростью.
Запишем теорему сложения скоростей для точки В
.
Переносная скорость точки В перпендикулярна прямой ОВ и ее величина определяется по формуле
.
Расстояние ОВ измеряем, или находим геометрически, используя метрические соотношения в треугольнике ОАВ. В результате получаем ОВ = 1,06 м. Тогда переносная скорость равна 2,12 м/с. Относительная скорость направлена перпендикулярно АВ, а абсолютная скорость точки В направлена горизонтально. Этих данных достаточно для построения треугольника скоростей, который построен на рис. 8.5 вверху справа. Измеряя построенные векторы в выбранном масштабе, получаем
м/с; м/с.
Зная относительную скорость точки В, определяем угловую скорость шатуна в относительном вращении относительно кривошипа
рад/с.
По этой формуле определяется только абсолютная величина относительной угловой скорости. Изобразив вектор относительной скорости на кинематической схеме механизма (рис. 8.5), видим, что шатун вращается вокруг центра А по часовой стрелке. Это означает, что относительная угловая скорость отрицательна.
Переходим к определению скорости точки М. Теорема сложения скоростей
.
Переносная скорость точки М направлена перпендикулярно прямой ОМ, относительная скорость направлена перпендикулярно прямой MB, а величины этих скоростей определяются по формулам
.
После вычислений находим м/с; м/с.
Строим треугольник скоростей (рис. 8.5 внизу справа), из которого находим vM = 1,06 м/с.
Ответ: ω2 = 1 рад/с; vB = 0,8 м/с; vM = 1,06 м/с.
Пример 2. Механизм, изображенный на рис. 8.6, называется шарнирным четырехзвенником с присоединенной диадой. Звенья механизма имеют следующие размеры: О1А = 0,3 м; АВ = 0,25 м; O2D = 0,3 м; DB = 0,2 м; О2Е=0,3 м; O1O2=0,6 м; DM=0,9 м; звено О1А перпендикулярно О1О2. Кривошип О1А вращается с угловой скоростью ω1=4 рад/с по часовой стрелке. Необходимо определить угловые скорости всех звеньев механизма и скорости точек B,D, Е и М.
Рис. 8.6
Решение. Механизм работает следующим образом. При вращении кривошипа ОХА звено АВ совершает сложное плоскопараллельное движение, а второй кривошип О2В вращательное движение, но при этом он не делает полного оборота, а совершает колебания относительно некоторого среднего положения. Звено DM при этом скользит поступательно вдоль цилиндра Е и одновременно с этим вращается вместе с цилиндром относительно оси его вращения.
Задачу будем решать в следующем порядке. Сначала найдем угловые скорости всех звеньев и скорости заданных точек с помощью мгновенных центров скоростей. Затем найдем угловые скорости второго и третьего звена с помощью разложения движения второго звена на переносное поступательное и относительное вращательное. Далее, найдем угловые скорости четвертого и пятого звена и скорость точки М с помощью разложения движения четвертого звена на переносное вращательное и относительное поступательное. Затем найдем скорость точки М с использованием теоремы о скоростях и теоремы о проекциях скоростей.
Для выполнения намеченного плана изобразим в масштабе (1:10) кинематическую схему механизма, на которой построим МЦС звеньев и направления скоростей точек.
Мгновенные центры скоростей находим так. Совершенно очевидно, что точка А движется по окружности радиуса О1А, а точка В по окружности радиуса О2В. Скорости точек А и В направлены по касательным к соответствующим окружностям. Следовательно, МЦС второго звена лежит на пересечении прямых О1А и О2В, т.е. в точке Р2. Сложнее определить МЦС четвертого звена. Здесь сразу определяется только направление скорости точки D, так как ее траектория есть окружность с центром в точке О2. На четвертом звене нет никакой другой точки, кроме точки D, для которой была бы известна траектория. Поэтому поступаем следующим образом. Разлагаем движение четвертого звена на переносное вращательное вместе с цилиндром Е и относительное поступательное относительно цилиндра.
Далее, запишем теорему сложения скоростей для точки Е четвертого звена.
.
Заметим, что, согласно определению, переносная скорость точки Е четвертого звена равна абсолютной скорости точки Е пятого звена. Но эта скорость равна нулю, так как является для цилиндра Е центром вращения. Таким образом, абсолютная скорость точки Е четвертого звена равна относительной скорости, направление которой известно, так как в относительном движении четвертое звено движется вдоль цилиндра прямолинейно. Дальнейшие построения понятны из рис. 8.7.
Рис. 8.7
Далее, необходимо составить алгоритм для определения угловых скоростей звеньев и скоростей точек. Для этого предварительно найдем расстояния АР2, ВР2, P4D, P4E и Р4М.
Измерения дают результаты:
АР2 = 0,27 м; ВР2 = 0,34 м; P4D = 0,6 м; P4E =0,24 м, Р4М =0,4 м.
Дальнейшие вычисления производим по формулам
После вычислений получаем ответ.
Ответ: vB = 1,5 м/с; ω2 = 4,4 м/с; ω3 = 3 рад/с; ω4 = 1,5 рад/с;
vE = 0,35 м/с; vD = 0,9 м/с; vM = 0,6 м/с; ω5 = ω4.
Определение угловых скоростей второго и третьего звена с помощью разложения движения.
Для решения задачи изобразим на рис. 8.8 фрагмент кинематической схемы заданного механизма.
Рис. 8.8
Разложим движение второго звена на переносное поступательное и относительное вращательное. За полюс принимаем точку А и записываем теорему сложения скоростей для точки В.
.
Скорость точки А считаем известной и равной 1,2 м/с. Скорость точки В известна по направлению. Она перпендикулярна О2В. Скорость точки В относительно полюса А перпендикулярна АВ.
Этих данных достаточно для построения треугольника скоростей, который построен на рис. 8.8.
С помощью измерений находим
=1,1 м/с; =1,5 м/с.
Далее, вычисляем угловые скорости
рад/с; рад/с.
Определение угловой скорости четвертого звена и скорости точки М методом разложения движения.
Разложим движение четвертого звена на переносное вращательное и относительное поступательное. Точка Е - центр переносного вращения. Будем считать известной скорость точки D, которая равна 0,9 м/с.
Запишем для точки D теорему сложения скоростей
.
Относительная скорость точки Е направлена параллельно прямой DE, переносная - перпендикулярно этой прямой.
Таким образом, зная абсолютную скорость точки и направления всех скоростей, находим переносную и относительную скорости. Для этого достаточно построить параллелограмм скоростей (рис. 8.9).
Найдем скорость точки М. По той же теореме сложения скоростей, что и для точки D, имеем
.
Рис. 8.9
Так как относительное движение четвертого звена относительно цилиндра поступательное, то относительные скорости всех точек равны и
м/с,
а переносная скорость точки М находится геометрически. Для этого через конец вектора переносной скорости точки D и точку Е проводим прямую до пересечения с перпендикуляром к ME. Таким образом, переносная и относительная скорости, найденные из параллелограмма скоростей равны соответственно 0,49 м/с и 0,35 м/с.
Угловые скорости четвертого и пятого звена находим по формуле
рад/с.
Таким образом, определяется положение конца вектора переносной скорости. Сложив геометрически переносную и относительную скорости точки М, получим абсолютную скорость, равную 0,6 м/с.
Ответ: ω4 = ω5 = 1,5 рад/с; vM = 0,6 м/с.
Пример 3. Решим такую задачу. Пусть скорость точки D изображается вектором . Необходимо построить в том же масштабе скорость точки М без вычислений.
Решение. Изобразим фрагмент заданного механизма и скорость точки D.
Рис. 8.10
Спроектируем скорость точки D на прямую DM. Величина скорости точки Е равна этой проекции. Исходя из этого, строим скорость точки Е. Проекция скорости точки М на прямую DM равна отрезку MG = DF по теореме о проекциях скоростей. Следовательно, конец вектора скорости точки М лежит на перпендикуляре к прямой DM из точки G. С другой стороны, концы векторов скоростей точек D, Е и М лежат на одной прямой. Проводим прямую через концы векторов скоростей точек D и Е и в точке пересечения этой прямой с прямой GK находим точку К, в которой находится конец вектора скорости точки М.
Пример 4. Определить для заданного положения механизма (рис. 8.11) угловые скорости всех звеньев и скорости точек А, В, С, D, E, F, М. Размеры звеньев механизма: ОА =0,2; АВ = 0,3; ВК=СК= = 0,4; СЕ=0,4; ОК=0,6; ED=0,2; l = 0,4; EM=MF=0,25 м. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью ω1 = 2 рад/с.
Рис. 8.11
Решение. Определим положение мгновенных центров скоростей всех звеньев, направления движений каждого звена и направления скоростей точек. Все это показано на рис. 8.12. При выполнении этого построения обратим внимание на следующее. Так как прямая КС перпендикулярна KD, то скорости точек С и D параллельны.
Рис. 8.12
Это означает, что третье звено находится в состоянии равных скоростей (не путать с мгновенным поступательным движением!). Скорости всех точек этого звена равны по величине и одинаково направлены.
Зная угловую скорость первого звена, находим скорость точки А
.
Угловая скорость второго звена
.
Скорость точки В
.
Так как КС=КВ, то скорость точки С равна скорости точки В по абсолютной величине.
Так как четвертое звено находится в состоянии равных скоростей, то скорости точек C,E и D равны.
Угловая скорость четвертого звена равна нулю. Угловая скорость пятого звена
.
Скорость точки F
.
Скорость точки М
.
Вычисления по указанным формулам приводят к ответу.
Ответ: vB = 0,2 м/с; vE = vD = vC=0,2 м/с; ω2 = 1,3 рад/с;
ω3 =0,5 рад/с; ω4 =0; ω5 =0,5 рад/с; vF = 0,15 м/с; vV=0,12 м/с.
Пример 5. Для механизма, кинематическая схема которого представлена на рис. 8.13, определить угловые скорости всех звеньев и скорость точки М для заданного положения механизма. Размеры звеньев: ОА = 3,0 см; СВ = 3,2 см; BD = 1,2 см. Угловая скорость первого звена равна 2 рад/с.
Решение. Проанализируем движения звеньев данного механизма. Кривошип ОА вращается вокруг неподвижного центра О и приводит в движение шатун BD, который совершает сложное движение. Кривошип ВС при этом вращается вокруг центра С, а ползун D движется поступательно прямолинейно по горизонтальной направляющей.
Очевидно, скорость точки А перпендикулярна ОА, скорость точки В перпендикулярна ВС, а скорость точки D направлена горизонтально (рис. 8.13).
Для определения скорости точки М необходимо знать угловую скорость этого звена и положение мгновенного центра скоростей.
Рис. 8.13
Определяем скорость точки А, которая принадлежит одновременно первому и третьему звену
.
Зная направления скоростей точек В и D, определяем положение МЦС второго звена, но для определения угловой скорости второго звена этого недостаточно. Ближайшим звеном к ведущему звену является не второе, а третье звено, угловая скорость которого равна угловой скорости второго, так как третье звено относительно второго движется поступательно. Поэтому найдем угловую скорость третьего звена. Разложим движение этого звена на переносное вместе со вторым звеном и относительное относительно второго звена. Переносное движение третьего звена есть сложное движение, но в данный момент времени это есть мгновенное вращение вокруг центра Р2. Относительное движение есть поступательное прямолинейное вдоль прямой МА.
Найдем абсолютную скорость точки Р2 третьего звена. По теореме сложения скоростей
.
Согласно определению переносная скорость точки равна абсолютной скорости соответствующей точки переносного тела. Точка Р2 второго звена является его мгновенным центром скоростей, т.е. абсолютная скорость этой точки второго звена равна нулю и, следовательно, переносная скорость точки Р2 третьего звена равна нулю и абсолютная скорость этой точки равна относительной.
На основании вышеизложенного МЦС третьего звена расположен на пересечении прямой ОА и перпендикуляра к прямой AM, проведенного через точку Р2.
Далее, определяем угловую скорость третьего звена
.
Так как третье звено относительно второго движется поступательно, то угловая скорость второго звена равна угловой скорости третьего звена.
Зная угловую скорость второго звена, находим скорость точки М
и скорость точки В
.
Далее, определяем угловую скорость четвертого звена
.
После измерений и вычислений получены следующие результаты:
АР3 = 6,0; vA = 6 см/с; ВР2 = 6,4 см;
P2D = 3,2 см; Р2М=3,5 см;
ω2 = ω3 = 1 рад/с; vB = 6,6 см/с; vD = 3,5 см/с;
ω4 = 1,2 рад/с; vM = 3,20 см/с.
Пример 6. Для механизма, изображенного на рис. 8.14, найти МЦС третьего и четвертого звена.
Рис. 8.14
Решение. Для решения задачи применим метод остановки.
Остановим первое звено и найдем МЦС четвертого звена относительно первого. Второе колесо при этом катится по первому как в планетарном механизме, т.е. искомый центр лежит на прямой ВК. Точка А в этом случае неподвижна, а скорость точки С относительно А перпендикулярна АС. Таким образом, МЦС четвертого звена относительно первого расположена в точке пересечения прямых ВК и АС, т.е. в точке Р41, как это показано на рис. 8.14.
Так как точка О есть центр абсолютного вращения первого звена, то для четвертого звена это будет центр переносного вращения. Как известно, центры переносного, относительного и абсолютного вращений лежат на одной прямой, следовательно, МЦС четвертого звена в абсолютном движении лежит на прямой Р41О. В то же время МЦС четвертого звена лежит на прямой О\В, так как абсолютная скорость точки В перпендикулярна О1В. Таким образом, находим точку Р4 Далее, находим скорость точки С и МЦС третьего звена.
Лекция 13
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
1 Абсолютное, переносное и относительное
движения точки
Сложное движение точки - это такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или нескольких движениях. Например, сложное движение совершает лодка, переплывающая реку, пассажир, перемещающийся в вагоне движущегося поезда или по палубе плывущего парохода, а также человек, перемещающийся по лестнице движущегося эскалатора. Сложным является и движение шаров С и D центробежного регулятора Уатта (рис. 13.1), вращающегося вокруг вертикальной оси, когда при изменении нагрузки машины шары удаляются от этой оси или приближаются к ней, вращаясь со стержнями АС и BD вокруг шарниров А и В.
Рис. 13.1 Рис. 13.2
Рассмотрим движущееся тело А (рис. 13.2) и точку М, не принадлежащую этому телу, а совершающую по отношению к нему некоторое движение. Через произвольную точку О движущегося тела проведем неизменно связанные с этим телом оси x, у, z. Систему осей Охуz называют подвижной системой отсчета.
Неподвижной системой отсчета называют систему осей , связанную с некоторым условно неподвижным телом, обычно с Землей.
Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называют абсолютным движением точки.
Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки и обозначают и .
Движение точки М относительно подвижной системы отсчета называют относительным движением точки.
Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением точки и обозначают и (relatif-относительный).
Движение подвижной системы отсчета Охуz и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета является для точки М переносным движением. Точки тела А, совершая различные движения, имеют в данный момент различные скорости и ускорения. Скорость и ускорение точки тела А, связанного с подвижной системой отсчета, совпадающей в данный момент с движущейся точкой, называют переносной скоростью и переносным ускорением точки М и обозначают и (еmporter - увлекать).
Например, если человек идет вдоль радиуса вращающейся платформы (рис. 13.3), то с платформой можно связать подвижную систему отсчете, а с поверхностью Земли - неподвижную. Тогда движение платформы является переносным, движение человека по отношению к ней — относительным, а движение человека по отношению к Земле — абсолютным. Переносной скоростью человека , и его переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки платформы, где находится в данный момент человек.
Рис. 13.3
Движение точки М (рис. 13.2) по отношению к неподвижной системе отсчета, которое названо абсолютным движением, является сложным, состоящим из относительного и переносного движений точки. Основная задача изучения сложного движения состоит в установлении зависимостей между скоростями и ускорениями относительного, переносного и абсолютного движений точки.
Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором , проведенным в точку М из начала этой системы O1. Изменение радиуса-вектора характеризует абсолютное движение точки. Положение точки М относительно подвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором , проведенным в точку М из начала этой системы О, или тремя координатами х, у, z в этой системе.
Изменение радиуса-вектора или координат х, у, z точки М характеризует относительное движение точки. Таким образом, уравнения относительного движения точки имеют вид
Изменение радиуса-вектора , проведенного из начала неподвижной системы координат О1 в полюс О, характеризует абсолютное движение полюса.