- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
4 Передаточные механизмы
Передаточные механизмы предназначены для передачи вращения от одною вала. называемого ведущим, к другому, называемому ведомым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересекаются, то вращение можно передать с помощью фрикционной или зубчатой передачи (рис. 10.8 – 10.11).
Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы сцепления на поверхности соприкасающихся колес, в зубчатой передаче - от зацепления зубьев. Вращательная скорость в точке соприкасания колес относится к точкам обоих колес, т. е. ее модуль определяется как
.
откуда
.
Таким образом, угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.
Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого колеса называется передаточным числам:
.
Рис. 10.8 Рис. 10.9
Рис. 10.10 Рис. 10.11
Передаточное число можно вычислить как обратное отношение радиусов колес:
.
Так как числа зубьев пропорциональны длинам окружностей и, следовательно, радиусам, то передаточное число определяется и по числу зубьев:
.
При внешнем зацеплении (рис. 10.8) направление вращения ведущего и ведомого колес противоположное, а при внутреннем (рис. 10.9) - одинаковое.
Кроме фрикционной и зубчатой передач существует передача на расстоянии с помощью гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 10.11).
Taк как скорости всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхности шкива, то к ременной передаче относятся те же соотношения:
.
Применяются также серии колес с неподвижными осями вращения в виде последовательного ряда с паразитными колесами (рис. 10.12) и последовательного ряда с кратным зацеплением (рис. 10.13), называемые рядовыми соединениями колес.
Рис. 10.12 Рис. 10.13
Определим передаточное число фрикционной передачи в виде рядового соединения с паразитными колесами:
для колес 1-2 ;
для колес 2-3 .
Перемножаем левые и правые части, получаем
.
Для зубчатых колес
.
Передаточное число рядового соединения с паразитными колесами равно отношению радиусов (чисел зубьев) ведомого и ведущего колес и не зависит от радиусов (чисел зубьев) паразитных колес.
Определим передаточное число рядового соединения с кратным зацеплением.
Частное передаточное число для колес 1-2
.
Частное передаточное число для колес 3-4
.
Так как колеса 2—3 соединены жестко, т. е. то общее передаточное число равно произведению передаточных чисел:
.
Для зубчатых колес
.
Таким образом, общее передаточное число рядового соединения колес с кратным зацеплением равно произведению чисел зубьев ведомых колес, деленному на произведение чисел зубьев ведущих колес.
В рассмотренных выше передачах при равномерном вращении ведущего вала ведомый вал вращается тоже равномерно.
Для получения переменной угловой скорости ведомого вала применяются передачи, в которых расстояние от точки соприкасания колес до оси одного из валов или обоих валов изменяется.
Рис. 10.14 Рис. 10.15
Во фрикционной передаче, изображенной на рис. 10.14, колесо 1 перемещается вдоль его оси и отношение угловых скоростей зависит от переменного расстояния х:
.
На рис.10.15 изображены эллиптические колеса, оси вращения которых находятся в фокусах эллипсов. Отношение угловых скоростей зависит от переменных расстояний
и ,
где
.
Пример 1. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. В первые 20 с он совершает 100 оборотов. Каковы его угловые скорость и ускорение по истечении 20 с?
Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покое, то ω0=0. В этом случае уравнения при имеют вид
, (1)
Из уравнения (1) находим
,
где .
Пример 2. Лебедка (рис. 2.2.1), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов 1 л 2 с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соответственно z1 = 12 и z2= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0,3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается равноускоренно с угловым ускорением ε1 = 8 с–2. Определить скорость, ускорение и перемещение груза, а также ускорение точки В барабана в момент времени t = 1 с. В начальный момент времени система находилась в покое.
Рис. 2.2.1
Решение. Найдем угловую скорость ω1 ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорением ε1 = const, учитывая, что . Интегрируя последнее уравнение по времени, получаем .
Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t= 0 ω1 = 0 (система находилась в покое), следовательно C1 = 0.
Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнением .
При t = 1 с получаем .
Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзывания. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы: .
Отсюда находим угловую скорость ω2 вала 2, учитывая, что :
.
Угловое ускорение вала 2 равно .
Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скорости любой из точек на ободе барабана, в частности, скорости точки В: v = vB = ω2r = 0,6t=|t=1 c =0,6 м/с.
Ускорение точки В равно векторной сумме касательного (вращательного) и нормального (центростремительного) ускорений: .
Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε2, а его модуль равен м/с2. Центростремительное ускорение направлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м/с2.
Модуль ускорения точки В
м/с2.
Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускорение: м/с2.
Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:
м.
Ответ: v = 0,6 м/с; а = 0,6 м/с2; s = 0,3 м; аB = = 1,34 м/с2.
Пример 3. Маховик радиусом R = 0,5 м вращается так, что его угловая скорость меняется в соответствии с уравнением . Для момента времени t = 0,5 с после начала движения определить скорость и ускорение точки на ободе маховика. Установить, за какое время маховик сделает 100 полных оборотов.
Рис. 2.2.2
Решение. Для момента времени t = 0,5 с получаем ω = 0,680 с–1, и скорость точки на ободе маховика равна v = ωR = 0,340 м/с.
Угловое ускорение маховика
.
Ускорение точки на ободе маховика равно сумме двух составляющих ускорений: , где и — касательное (вращательное) и нормальное (центростремительное) ускорения точки.
Учитывая, что вращательное ускорение равно по модулю , найдем =0,680 м/с2; центростремительное ускорение . Модуль полного ускорения точки
м/с.
Направления скорости и ускорений показаны на рис. 2.2.2.
Поскольку значения величин угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, вращение тела ускоренное. Соответственно, совпадают по направлению угловая скорость и угловое ускорение тела, а также скорость точки и вращательное ускорение.
Поворот маховика на 100 полных оборотов соответствует углу его поворота φ = 200π рад. Выражение для угла поворота найдем из уравнения .
Имеем
.
Итак, , откуда находим t = 2,19 с.
Пример 4. Вращение маховика в период пуска машины определяется уравнением где t – в с, φ - в рад. Определить модуль и направление ускорения точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии 50 см, в тот момент, когда ее скорость равна 8 м/с.
Рис. 2.2.3
Решение. По уравнению вращения маховика находим его угловые скорость и ускорение согласно формулам:
(1)
(2)
Пользуясь формулой, находим момент времени t1, когда скорость точки М равна 8 м/с:
По этому значению из (1) находим t1:
По уравнению (2) вычисляем ε, а затем по формулам модули вращательного, центростремительного и полного ускорений точки М в этот момент времена:
Как видно, модуль полного ускорения точки весьма мало отличается от модуля центростремительного ускорения точки (рис. 2.2.3).
Направление ускорения точки определяется углом β, образованным ускорением и радиусом СМ:
Пример 5. Груз А, подвешенный к нити АВ, намотанной на барабан, опускается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан. За первые 3 с барабан совершает 9 оборотов. Определить в конце 5-й секунды скорость и ускорение точки обода барабана, а также груза А, если диаметр барабана D = 30 см (рис. 2.2.4, а).
Рис. 2.2.4
Решение. Барабан вращается равноускоренно согласно уравнению:
.
Формула угловой скорости имеет вид:
.
Для того чтобы начальное значение угла поворота было равно нулю, следует неподвижную полуплоскость поместить в начальном положении подвижной полуплоскости, вращающейся с барабаном. Выполним это и получим .
При вращении из состояния покоя начальная угловая скорость барабана равна нулю . При этих условиях
; (1)
. (2)
Так как при t = 3 с рад, то из уравнения (1) определим угловое ускорение :
.
Из уравнения (2) найдем угловую скорость барабана в конце 5-й секунды:
.
Определим в точке В обода барабана (рис. 2.2.4, б) модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений в этот же момент времени по формулам:
(модуль вращательного ускорения точки тела при равнопеременном вращении одинаков для всех моментов времени);
.
Модуль полного ускорения точки обода барабана определяется по формуле:
.
Вследствие незначительной величины модуля вращательного ускорения по сравнению с модулем центростремительного ускорения полное ускорение приближенно равно центростремительному.
.
Ускорение груза (рис. 2.2.4, б) равно вращательному ускорению точки обода:
.
Пример 6. Центробежный регулятор вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Угол АСВ равен 60о, а ускорение шаров А и В равно по величине 100g, где g=980 см/с2. Стержни АС, ВС, АD и BD одинаковой длины l=10 см. Сколько оборотов в минуту делает регулятор (рис. 2.2.5)?
Рис. 2.2.5
Решение. Для того чтобы найти величину угловой скорости регулятора, напишем зависимость ускорения шара от параметров регулятора. Так как регулятор вращается с постоянной скоростью, то ускорение шара будет центростремительным ускорением, модуль которого определяется формулой
,
где r – кратчайшее расстояние шара до оси вращения.
С другой стороны, согласно условию, . Приравнивая эти два выражения нормального ускорения шара, находим:
.
Угловая скорость регулятора будет равна
.