- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Естественный способ задания движения точки
Рассмотрим естественный способ задания движения точки, применяемый в случае, когда траектория точки заранее известна. Траекторией может быть как прямая, так и кривая линия (рис. 8.5).
Рис. 8.5
Выберем на траектории неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета дуговой координаты. Положение движущейся точки М на траектории будем определять дуговой координатой, т. е. расстоянием ОМ = s, отложенным по траектории от начала отсчета О.
Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, будем считать положительными, а в противоположную - отрицательными, т. е. установим направление отсчета дуговой координаты.
При движении точки М расстояние s от этой точки до неподвижной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата s является функцией времени:
. (8.5)
Эта зависимость называется уравнением движения точки.
Если вид функции f(t) известен, то для каждого значения t можно найти значение s, отложить соответствующее расстояние по траектории и указать, где находится движущаяся точка М в этот момент времени.
Таким образом, движение точки определено, если известны следующие элементы: траектория точки, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения s =f(t).
Дуговую координату точки не следует смешивать с длиной пути σ, пройденного движущейся точкой. Дуговая координата s точки М в некоторый момент времени t может быть равна пути σ, пройденному точкой за промежуток времени [0, t], только в том случае, если движение точки начинается из точки О и совершается в положительном направлении.
.
3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.
При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором , который является функцией времени . Пусть в момент времени t точка занимает положение М, определяемое радиусом-вектором , а в момент - положение M1, определяемое радиусом-вектором (рис. 8.6). Из треугольника ОММ1,
.
Рис. 8.6 Рис. 8.7
При перемещении точки ее радиуc-вектор получает приращение:
.
Из двух последних равенств следует, что вектор перемещения точки является приращением радиуса-вектора точки за промежуток времени t.
Отношение вектора перемещения к промежутку времени t, в течение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости воображаемого движения точки по хорде ММ1:
.
Направление вектора совпадает с направлением Δ . При уменьшении промежутка времени Δt и приближении его к нулю вектор Δ также стремится к нулю, а вектор - к некоторому пределу. Этот предел является вектором скорости точки в момент t:
.
Так как Δt - приращение скалярного аргумента t, а Δ - приращение вектора-функции , то предел отношения при является векторной производной от по t:
Отсюда
Таким образом, вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиуса-вектора точки по времени.
Вектор направлен по хорде MM1 в сторону движения точки. Когда Δt стремится к нулю, точка M1 стремится к точке М, т. е. предельным положением секущей MM1 является касательная.
Из этого следует, что вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис. 8.8).
Рис. 8.8
Скорость точки при неравномерном криволинейном движении изменяется как по модулю, так и по направлению.
Отметим ряд положений движущейся точки на траектории M1, M2, M3, М4 и покажем в этих положениях скорости точки (рис. 8.8,а).
Выбрав в пространстве некоторую неподвижную точку О1, отложим от этой точки векторы, геометрически равные скоростям (рис. 8.8,б). Если от точки О1 отложить скорости, соответствующие всем положениям точки М на кривой АВ, и соединить концы этих векторов, то получится линия CD, являющаяся годографом скорости.
Таким образом, годограф скорости представляет собой геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки, отложенных от одной и той же произвольной точки пространства.
Изобразим на рис. 8.9, а траекторию точки АВ и ее скорость в произвольный момент времени t, а на рис. 8.9, б - годограф скорости CD этой точки.
Проведем через точку О1 оси координат X, Y, Z, параллельные основным осям х,y,z. Тогда радиусом-вектором любой точки N годографа скорости CD будет скорость , а координаты точек годографа X, У, Z будут равны проекциям скорости на оси координат:
Рис. 8.9
.
Эти уравнения являются параметрическими уравнениями годографа скорости.