17(1). Рівняння руху та інтегральні варіаційні принципи. Принцип найменшої дії. Основи релятивіської механіки.

Рівняння руху механічної системичи умови рівноваги можуть бути одержані як наслідок з деяких загальних положень наз. варіаційними принципами механіки. Варіаційні принципи показують, що дійсний рух частинок механічної системи відрізняється від усіх кінематичних можливостей її рухів чи сталих. Варіаційні принципи встановлюють різницю між дійсном переміщенням системи за скінчений промфіжок часу і всіма її кінематичними можливими переміщеннями наз. інтегральними. Інтегральні варіаційні принципи справедливі лише гологомних систем тобто, якщо вона підпорядковується гологомним зв’язкам, тобто якщо відповідаючі їм рівняння не містять похідних від координат точок системи.

1) інтегральні варіаційні дії (приклад найменшої дії принцип Гамільтона) дійсне переміщення консервативної системи із положення А₀(g₀) в момент часу t₀ в положення А₁(g₁) в момент часу t₁ відрізняється від всіх кінематичних можливих переміщень цієї системи із А₀ в А₁ за той же проміжок часу t₁-t₀ тим, що для нього дія екстемальна ї точніше, стаціонарна тч: чи

тут δ – символ ізохронної віріації, тобто при варіюванні дії часу t(t₀-t₁) не варіюються. Крім того припускаючи, що початкове і кінцеве положення А₀ і А₁ системи фіксоване тобто σа_і0=δа_і1=0 (і=1, 2, ...s). Принцип Гамільтона можливо утотожнити на довільну голономну систему. Його математичний запис: Q_i – узагальнена сила; Q_i^/ узагальнена немат. сила.

Для голономної неконсервативної системи що має узагальнений потенціал U^* принцип Гамільтона має вигляд: , де L=T-U^*

2) Принцип Мопертюі-Лагранжа: дійсне переміщення консервативної системи із положення А₀(g₀) в положення А₁(g₁) відрізняється від всіх кінематично можливих доенергетичних переміщень цієї системи із А₀ в А₁ тим, що для нього скорочена екстремальний мінімум, тобто , Δ – символ варіації.

Принцип Мопертюі-Якобі для консервативної системи

він витікає

2. Для вільної матеріальної точки з масою m повною енегрією Е →

dS – елемент довжини шляху. Механіка основана на спеціальному принципі відносності інваріанти відносно перетворень Лоренца наз. релятивіська механіка.

Функція Лагранжа вільної частинки

, де m₀ – маса спокою.

Вектор р механічного імпульсу: . Релятивіський вирамаси: .

Класична механіка , а в релятивіській при F_┴v (W-прискорення) при F║v

Повна енергія тіла - закон взаємодії маси і енергії.

При v=0 - енергія спокою.

Кінетична енергія тіла при v/c<<1

Функція Гамільтона: при p<<m₀c:

17(2). Гази з міжмолекулярними взаємодіями. Рівняння Ван-дер-Вальса.

В молекулярних газах між молекулами діють міжмолекулярні сили які на відстані порядку 10^-9 і більше є силами притягання, а на відстані 10^-10 м і менше є сили відштовхування. Молекули такого газу мають Е_n. Рівняння стану в яких враховані скінчені розміри молекули і сили взаємодії між ними наз рівняння Ван-дер-Вальса. Воно теж наближене бо немає способу тонкого обчислення сил взаємодії між молекулами:

- рівніння що пов’язує P,V,T газу (рівняння Ван-дер-Вальса)

В ньому враховані як сили притягання (поправочний член ) так і сили відштовхування (b) В кожному атомі і молекулі спільний позитивний заряд ядер іспільний негативний заряд електронних рівнів так що в цілому атоми і молекули нейтральні. Але заряди в атомі можуть бути розташовані не зовсім симетрично, а ніби зсунуті один відносно одного створюючи диполь. У цих умовах між нейтральними молекулами виникають сили притягання, які перевищують сили відштовхування. І лише на самих малих відстанях сили відштовхування стають більшими за сили притягання. Сили відштовхування і сили притягання залежать від відстані між молекулами:

де m=7