Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в , f’ имеет разные знаки слева и справа от Xo => Xo – точка экстремума.

Доказательство:

Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.

- max

- min

Теорема доказана.

Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)

Если в f( )=0, f’’( )>0 – min; f’’( )<0 – max

Доказательство:

f’( )=0, существует f’’( )=> f’ определена в U( )

f’(x) в точке возрастает(f’’( )>0)

f’(x) в точке убывает(f’’( )<0)

1) f’’( )>0 f’(x) возрастает, f’( )=0 =>

п ри x<

при x< => – точка минимума

2) Аналогично для f’’( )<0…

Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.

Вопрос 22.

Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.

Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках ( ) расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

Выпуклость вверх Выпуклое множество

Выпуклость вниз Невыпуклое множество

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ( ) для всех .

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда .

Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь

.

Таким образом, ( , и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).

Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .

Применяя формулу Тейлора, получим

0= . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае Определение.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной ( разные выпуклости слева и справа).

Замечание.

Точка перегиба существует только если . Пример

Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Если функция имеет непрерывной в точке , =0 и , то точка перегиба.

Доказательство:

В этом случае: , (формула Тейлора) , или .

В силу непрерывности в и того факта, что сохраняет знак в некоторой окрестности точки . С другой стороны, множитель меняет знак при переходе через , а вместе с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет знак при переходе через .

Теорема доказана.