- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17. Остаточный член в форме Пеано.
- •Вопрос 18. Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
- •Вопрос 19.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
- •Вопрос 20. Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
- •Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 23. Асимптоты функции.
- •Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 30.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
- •Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиение R: .
Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек .
Если существует предел при интегральных сумм , и он не зависит от R и , то он называется определенным интегралом
Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x), определённая на отрезке [a,b], была интегрируема на нём, необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что f(x) не ограничена на отрезке [a,b]. Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок [xk−1,xk], на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое Δxkf(ξk) будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.
Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
Определение:
Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.
R: , .
Тогда можем составить выражения:
- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.
, .
Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.
R: , .
Тогда можем составить выражения:
- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.
, .
Свойства сумм Дарбу:
1) , для одного и того же разбиения.
2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение , если все точки являются точками .
Д обавление точек не увеличивает и не уменьшает . Пусть получается из добавлением одной точки.
, ,
,
,
Заметим, что если , то и . Отсюда заключаем:
, , , .
3) , ,
,
=> , т.е. .
- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). .
- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .
.
Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
Теорема:
Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
Докажем необходимость условия:
Функция интегрируема на отрезке .
Пусть , тогда , т.е. .
т.е. и .
Далее имеем: , т.е. .
Необходимость доказана.
Докажем достаточность условия:
.
.
.
Докажем, что .
,
,
, тогда , т.е. ,
.
Достаточность доказана.
Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
Теорема 1:
Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .
Доказательство:
Пусть непрерывна на ; тогда для разбиения R, у которого частичные отрезки , имеет место ( ).
где есть модуль непрерывности на .
Поэтому
.
Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке функции , поэтому для любого можно указать такое , что .
В силу основной теоремы интеграл на существует.
Теорема доказана.