- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17. Остаточный член в форме Пеано.
- •Вопрос 18. Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
- •Вопрос 19.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
- •Вопрос 20. Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
- •Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 23. Асимптоты функции.
- •Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 30.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
- •Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
Определение: Производной от функции в точке называется предел, к которому стремится отношение ее приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Т.е., если определена в , то
Теорема 1:
График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.
Доказательство:
Пусть существует значение f’( )-конечное, тогда
при
Секущая стремится к касательной.
=> ч.т.д.
Пусть существует невертикальная касательная => существует - конечный.
Секущая стремится к касательной.
=>
Теорема доказана.
Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
Теорема: (необходимое условие существования производной)
Если функция имеет конечную в точке , то непрерывна в точке .
Доказательство:
При ,
Следовательно - непрерывна в точке .
Теорема доказана.
Замечание: обратное утверждение неверно, если функция непрерывна в точке ,
то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке
Контрпример:
Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева.
Контрпример:
Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
Пусть f = f(x) и g = g(x) – функции, имеющие конечные производные в точке x0, тогда справедливы равенства:
где k – константа
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.
2.
Заметим, что функция f , как имеющая производную, непрерывна, и потому при
3.
Вопрос 4. Производная обратной функции.
Определение: Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция . Пусть образ (a,b) есть интервал (A,B). тогда обратная к функция есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (A,B) функция.
Зафиксируем и дадим ему приращение Тогда получит соответствующее приращение
Наоборот,
Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных имеет место утверждение: из следует , и обратно.
Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную . Покажем, что в таком случае функция также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле,
Так как из того, что следует, что , то
Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция и обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция имеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1).
Может случится, что в точке В этом случае, очевидно, функция имеет в соответствующей точке х производную .
Если же , то для строго возрастающей функции при этом , а для строго убывающей . В первом случае , а во втором .
Пример 1.
Если логарифм натуральный, то
.
Функция ln x как действительная функция определена только для положительных значений х.
Пример 2.
где
Пример 3.