- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17. Остаточный член в форме Пеано.
- •Вопрос 18. Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
- •Вопрос 19.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
- •Вопрос 20. Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
- •Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 23. Асимптоты функции.
- •Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 30.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
- •Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Если функция f имеет производную f΄(xo) в точке xo, то существует предел , где Δf=f(xo+Δx)-f(xo), , или , где A=f΄(xo).
Определение:
Функция f дифференциируема в точке xo, если ее приращение представимо в виде:
, где AΔx=df. (*)
Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.
Если существует конечная производная f΄(xo) в точке xo, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.
Верно и обратное: если функция f дифференцируема в точке xo, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке xo, равную A:
Пусть функция имеет производную в точке (конечную): .
Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : ,
и приращение в точке может быть записано в виде:
или (1) ,
ведь выражение понимается как функция от такая, что ее отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение:
Определение.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде: (2),
где А не зависит от , но вообще зависит от .
Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
Доказательство:
Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде (1), где можно положить .
Необходимость условия. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из (2), предполагая , получаем .
Предел правой части при существует и равен А: .
Это означает, что существует производная . Теорема доказана.
Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
Если функция f имеет производную f΄(xo) в точке xo, то существует предел , где Δf=f(xo+Δx)-f(xo), , или , где A=f΄(xo).
Определение:
Функция f дифференциируема в точке xo, если ее приращение представимо в виде:
, где AΔx=df. (*)
Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.
Если существует конечная производная f΄(xo) в точке xo, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.
В ерно и обратное: если функция f дифференцируема в точке xo, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке xo, равную A:
Геометрический смысл дифференциала:
A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям xo и (xo+Δx) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(xo) и f(xo+Δx). Приращение функции Δf=f(xo+Δx)-f(xo) в точке xo равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δf=BD=DC+CB, где DC=tgαΔx=f΄(xo)Δx и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке xo:
DC=df=f΄(xo)Δx.
При этом на долю второго члена CB приращения Δf приходится величина . Эта величина, при больших Δx, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx, когда Δx→0.