- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17. Остаточный член в форме Пеано.
- •Вопрос 18. Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
- •Вопрос 19.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
- •Вопрос 20. Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
- •Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 23. Асимптоты функции.
- •Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 30.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
- •Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Правило Лопиталя. Случай .
Теорема:
Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если
, то и
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне
и
Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =
- аналогично для g(x)
Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:
,
Используя термины можно записать:
, Пояснение: , а т.к.
Найдем теперь предел отношения к :
[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]
[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]
- по определению предела по Гейне.
Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.
Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.
Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому
Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями.
Неопределенность ( при ).
Ясно, что или .
Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности .
Согласно определению этой функции . , то .
Неопределенность ( , , при )
Легко видеть, что .
Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
Рассмотрим произвольный многочлен степени n:
(1)
Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим
(2)
Это выражение называют разложение многочлена по степеням . Здесь – числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням .
Подставим в выражение (2) , получим
(3)
Найдем последовательные производные и подставим в ним
Таким образом, многочлен может быть представлен в виде
или
Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от .
Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен - это многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке a. Обозначим за - на сколько многочлен отличается от самой функции. называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функций будет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце. =))
Рассмотрим функцию f; зафиксируем точку a, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x, такую что f(x) n-1 раз дифференцируема на [a,x] и n раз дифференцируема на (a,x). В точке а функция дифференцируема n-1 раз, значит для нее можно составить многочлен Тейлора n-1 порядка.
Представим в виде: , где р – произвольное число, H – некоторая функция, зависящая от x.
Рассмотрим функцию :
Рассмотрим F(u) на [a,x]: F(u) непрерывная на [a,x], дифференцируема на (a,x), F(x)=F(a) по теореме Ролля
; продифференцируем:
- и почти все взаимно уничтожается.
, тогда
; Подставим теперь p:=n;
- это остаточный член в форме Лагранжа.