- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17. Остаточный член в форме Пеано.
- •Вопрос 18. Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
- •Вопрос 19.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
- •Вопрос 20. Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
- •Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 23. Асимптоты функции.
- •Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 30.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
- •Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
Теорема Ферма: (Необходимое условие существования экстремума)
Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то .
Доказательство:
Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.
, т.е. – не точка экстремума.
Аналогично невозможен случай , следовательно .
Теорема доказана.
|
Геометрический смысл теоремы Ферма Существует такая точка , в которой касательная параллельна оси Ox. |
Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
Теорема:
Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .
Доказательство:
Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
Обе точки x1 и x2 совпадают с a или b, тогда
И тогда производная
Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.
Контрпример 1
Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.
Контрпример 2
Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции существует точка касательная в которой параллельна оси x.
Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
Теорема:
Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство
(1),
причем .
Доказательство:
В теореме Коши, возьмем . Тогда , , .
Из теоремы Коши: теорема доказана.
Физический смысл:
Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)
Г еометрический смысл:
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .
Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид
Она верна, очевидно, не только для , но и для .
Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)
Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,
в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то
Доказательство:
1) a – конечное.
Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]
при
f(a)=g(a)=0 =>
2)
Пусть
Введем функции и
Теорема доказана.
Замечание: обратное неверно.
Пример: