Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
Теорема 1: (Аддитивное свойство интегралов)
Функция
интегрируема на отрезке
тогда и только тогда, когда
функция
интегрируема на отрезках
и
и при этом выполняется равенство:
Доказательство:
Пусть
интегрируема на
,
тогда по основной теореме
Можно
считать, что точка c
является точкой разбиения, потому что,
если она таковой не является, мы добавим
эту точку и рассмотрим новое разбиение
,
тогда
,
поэтому можно считать, что разбиение R
изначально содержит точку с. Тогда это
разбиение порождает разбиения
-
разбиение
и
-
разбиение
.
Тогда
и разность сумм Дарбу можно представить
как:
.
Так как каждое из этих двух слагаемых
неотрицательно и в сумме они меньше
,
значит каждое из них меньше
по
основной теореме
интегрируема на
и
.
Доказано.
Пусть
интегрируема на отрезках
и
,
тогда точно так же найдем
-
разбиение
и
-
разбиение
,
такие что
и
,
тогда для разбиения
,
где R–разбиение
отрезка
,
значит интегрируема на отрезке . Доказано.
Доказали интегрируемость, теперь докажем равенство :
Замечание: Мы предполагаем, что точка с участвует во всех этих разбиениях; если она в них не участвует, то по следствию из основной теоремы нам это неважно, поскольку если хотя бы для одной последовательности разбиений предел стремится к числу, то и для всех остальных - тоже. И мы берем такую последовательность разбиений, что точка с в них участвует.
-
сумма берется по тем отрезкам, которые
содержатся в
и
соответственно. Нужно учесть, что
.
Теорема доказана.
Замечание:
Мы определили понятие определенного
интеграла только для случая
;
доопределим понятие определенного
интеграла от a
до b
в случае, когда
:
Если
,
то положим
,
тогда равенство
становится верным не только для
,
но и для любых
,
при условии что все вышеперечисленные
интегралы существуют.
Пример:
Теорема2: (Однородные свойства интегралов)
Пусть
функции
интегрируемы
на
,
тогда
f + g – интегрируема на и
,
если интегралы в правой части существуют,
т.е. в общем случае обратное не верно.
(Пример: Если взять f – неинтегрируема на и –f – тоже неинтегрируема, то их сумма =0 – интегрируема).
-
интегрируема на
и
,
обратное тоже верно, в случае если
-
интегрируема.
-
интегрируемЕсли отделена от 0 на отрезке , т.е.
на
где
,
то
- интегрируема.
Доказательство:
1)
2) аналогично;
Замечание:
обозначим
;
;
- по свойству ограниченности; соответственно
введем
3)
Перейдем
к супремумам: на произвольном промежутке
По
основной теореме найдутся такие разбиения
,
что
и
,
что
.
Теперь если мы возьмем сумму разбиений
и
,
то будут выполняться оба неравенства,
и тогда
интегрируема.
4)
;
переходя к супремумам и умножая на
,
получим:
Замечание:
переход к супремуму на промежутке
:
Замечание: обратное неверно:
Контрпример:
- сама по себе не интегрируема (доказано
ранее), а по модулю – интегрируема.
5)
;
переходя к супремумам супремум в этом
неравенстве, получим:
;
теперь домножая на
и суммируя, получим
Теорема доказана.