Области устойчивости су. Метод d-разбиения плоскости одного параметра.
Поскольку при составлении математической модели делается ряд допущений, то параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных (номинальных). Кроме того, с течением времени они могут изменяться в некотором диапазоне, но при этом свойство устойчивости должно сохраняться. Поэтому для нормальной работы система должна обладать определенным запасом устойчивости.
Рассмотрим линейную стационарную систему общего вида
и соответствующее ей характеристическое уравнение
det(pI - A) = 0 ,
к оторое имеет n корней
Определение: областью устойчивости по параметрам будем называть множество матриц A, для которых выполняется общее условие устойчивости, Re (A) < 0 .
На практике обычно речь идет об изменении одного - двух параметров системы.
Рис.4.19. Область устойчивости системы
Определение: критическими (граничными) будем называть такие значения матриц A, при которых система находится на границе устойчивости, Re (A) = 0.
Определение: запасом устойчивости называется диапазон значений параметра от номинального до граничного.
Пусть необходимо выявить влияние на устойчивость САУ, например, коэффициента усиления K. Приведем характеристическое уравнение к виду D(p) = S(p) + K N(p), выделив члены, не зависящие от K в полином S(p), а в остальных членах, линейно зависящих от K, вынесем его за скобки. Граница D-разбиения задается уравнением
D(j ) = S(j ) + K N(j ) = 0, => K = -S(j )/N(j ) = X( ) + jY( ).
Изменяя
w от -
до +
,
будем вычислять X(
)
и Y(
)
и по ним строить точки границы D-разбиения.
Пространство коэффициентов представляется системой координат X-Y (рис.83а).
Обычно строят только половину кривой ( = [0, + ), другую половину достраивают симметрично относительно вещественной оси.
Если в плоскости корней двигаться вдоль мнимой оси от - до + и штриховать ее слева (рис.83б), то это будет соответствовать движению вдоль линии D-разбиения при изменении w от - до + и штриховке ее также слева. Переходу корня в плоскости корней из штрихованной полуплоскости в нештрихованную вдоль стрелки 1 соответствует аналогичный переход через границу D-разбиения вдоль стрелки 1, и наоборот. Если пересекается область с двойной штриховкой (точки A, В, C), то в плоскости корней мнимую ось пересекает пара комплексно сопряженных корней.
Если известно количество правых корней, соответствующее хотя бы одной D-области, то двигаясь от нее через границы с учетом штриховок, можно обозначить все остальные области. Область с наибольшим количеством штриховок является претендентом на область устойчивости. Нужно взять любую точку из этой области и при соответствующем значении K проверить систему на устойчивость любым методом.
Есть одна особенность. Так как K - вещественное число, то Y( ) = 0, поэтому нас интересует не вся область устойчивости, а лишь отрезок вещественной оси в этой области, то есть K = X( ).
Выводы:
Ручные расчеты по методу D-преобразования очень сложны
Обычно этот метод используют для расчетов на ЭВМ с помощью прикладных программ.