29. Запасы устойчивости су.

           Запас устойчивости характеризуют двумя показателями: запасом устойчивости по усилению и запасом устойчивости по фазе.

            Запас устойчивости по усилению  определяется величиной g =1/|H(jw0)|, где  w0 - частота, на которой   (рис. 17,а). Запас устойчивости g показывает, во сколько раз должен измениться (увеличиться) модуль передаточной функции разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, насколько в процессе работы может возрастать коэффициент передачи системы по сравнению с расчетным.

            Запас устойчивости по фазе оценивается величиной угла   , где частота wсp , называемая частотой среза, определяется условием |H(jwcp)|=1 (рис. 17, б).

            Величина Dj показывает, насколько должна измениться фазовая характеристика разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе обычно считается достаточным, если|Dj| ³ 30o.

Запас устойчивости - степень удаленности системы от границы устойчивости.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде(модулю)

На рис. 82 показана амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы  и окружность с радиусом R=1.

Рис. 82. К определению запаса устойчивости по модулю и по фазе

Запас устойчивости по модулю  определяется величиной отрезка АВ. Он показывает, на какую величину нужно увеличить амплитуду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы  без изменения фазы, чтобы замкнутая система вышла на границу устойчивости:

.                              (225)

Запас устойчивости по фазе  определяется величиной

.                              (226)

Он показывает, на какую величину по часовой стрелке нужно повернуть по фазе без изменения амплитуды вектор амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, чтобы замкнутая система вышла на границу устойчивости.

Если в систему ввести звено транспортного запаздывания, то её запас устойчивости по фазе уменьшится. Время запаздывания, при котором замкнутая система выходит на границу устойчивости, называется критическим. Из рис.82 следует, что оно определяется величиной

,

где  – частота, при которой для разомкнутой системы без транспортного запаздывания выполняется условие

.                                      (227)

Если увеличить коэффициент усиления статической^[1] разомкнутой системы , то запас устойчивости по модулю будет уменьшаться. Значение , при котором замкнутая система выходит на границу устойчивости, называется критическим. Оно определяется из условия .                             (228)

30. Области устойчивости су. Метод корневого годографа.

Устойчивость систем зависит от структуры и параметров системы. При расчете систем автоматического управления возникает задача опреде-ления диапазона изменения варьируемых параметров системы, при кото-рых она устойчива.

Область устойчивости - это совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива.

Коэффициенты характеристического уравнения являются функциями от параметров системы, и они определяют расположение корней в комплексной плоскости, при изменении параметров корни перемещаются в комплексной плоскости и система может стать не устойчивой.

Критерии устойчивости позволяют решить 2 задачи:

1. При заданных параметрах системы определить, устойчива ли она или нет.

2. Исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость.

Выводы:

1. Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо, чтобы К>=К_крит.

2. Устойчивость системы зависит от ее параметров. Если устойчивость зависит от одного параметра, можно изобразить область устойчивости на прямой:

Если устойчивость зависит от двух параметров, то они строятся на плоскости.

К_крит=К_рК₀=8; К_р=8/К₀

В пространстве параметров К_р и К₀ изображают границы устойчивости.

Для решения задач исследования влияния параметров системы на ее устойчивость используют специальные методы:

1. Метод корневого годографа.

2. Метод Вышнеградского.

3. Метод D-разбиения плоскости одного параметра.

4. Метод D-разбиения плоскости двух параметров.

Метод корневого годографа.

Корневой годограф – геометрическое место корней характеристического уравнения при изменении одного из параметров системы управления от 0 до бесконечности.

Обычно таким параметрам является коэффициент передачи регулятора.

Пример корневого годографа системы .

Пусть передаточная функция замкнутой системы

,

причём порядок полинома числителя равен , порядок полинома знаменателя равен для физически реализуемых систем.

метод корневого годографа связывает динамические характеристики системы с поведением нулей и полюсов её передаточной функции, которые находятся из нулей и полюсов разомкнутой системы при изменении какого-либо параметра (обычно коэффициента усиления разомкнутой системы). Замкнутая система связана с разомкнутой с помощью следующего соотношения:

Где - передаточная функция прямой системы, - передаточная функция разомкнутой системы. Эта формула справедлива только для отрицательной обратной связи, в противном случае знак после единицы будет отрицательным. Пусть точка является полюсом замкнутой системы. Проведём в эту точку вектора из всех нулей разомкнутой системы (обозначим аргументы этих векторов ) и всех полюсов (аргументы этих векторов обозначим ). Тогда корневым годографом будет являться геометрическое место точек, удовлетворяющих следующему уравнению:

Метод корневого годографа позволяет подобрать коэффициент усиления системы управления, оценить колебательность движения, подобрать расположение нулей и полюсов корректирующих звеньев системы управления.