4. Теоремы Ляпунова об устойчивости нелинейных систем
1.
Если можно найти такую знакоопределенную
функцию H (x, y), что
тоже знакоопределенная функция
противоположного знака, то движение в
окрестности рассматриваемой особой
точки асимптотически устойчиво.
2. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H (x, y), что будет знакопостоянной функцией противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки будет устойчивым в смысле Ляпунова.
3. Если существует такая функция H (x, y) > 0, что > 0, то такое движение неустойчиво.
Эти теоремы характеризуют достаточные условия устойчивости движения в нелинейных системах.
17. Критерий Рауса-Гурвица для анализа устойчивости су.
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математикомАдольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких каккритерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).
Формулировка
Метод
работает с коэффициентами характеристического
уравнения системы. Пусть 
— передаточная
функция системы, а 
—
характеристическое уравнение системы.
Представим характеристический полином 
в
виде
Из
коэффициентов характеристического
уравнения строится определитель Гурвица 
по алгоритму:
1)
по главной диагонали слева направо
выставляются все коэффициенты
характеристического уравнения от 
до 
;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3)
на место коэффициентов с индексами
меньше нуля или больше 
ставятся
нули.
Тогда согласно критерию Гурвица:
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.
Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара-Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.
К вопросу об автоматизации метода
Метод Гурвица, который часто называют методом Рауса-Гурвица, очень удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ. Приведём пример автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений MATLAB. Поскольку язык системыMATLAB динамично развивается, будем ориентироваться на старую версию 5.3 с её синтаксисом. Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её необходимо поместить в текстовый файл с расширением .m и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть raus_gur.m.