17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).

▼ Пусть     

Следовательно, т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲  

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо

<< Пример 17.2

Доказать, что

Решение: Функцию 5+х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х-2 (при х→2), т. е. выполнено равенство 5+х=7+(х-2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем

17.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х→x₀ и х→∞, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы limƒ(х), limφ(х) существуют при Х→Хо

Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при х→х_о.

Пусть По теореме 17.7 имеем:

Отсюда А-В=0, т. е. А=В.

Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как

где α(х) и ß(х) — б.м.ф. Следовательно,

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.  

Следствие 17.4 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела: ▼ ▲

Следствие 17.5 . Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

Рассмотрим примеры:

<< Пример 17.3

Вычислить 

Решение:  

<< Пример 17.4

Вычислить

 

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х→2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида  . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х-2≠0 (х→2, но х¹2):

<< Пример 17.5

Вычислить

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида  . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х²:

Функция 2+3/х+1/х²    есть сума числа 2 и б.м.ф. ,поетому

17.4. Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х®∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

то

▼Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ₁ и δ₂ точки х_о, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.

 

-ε<φ(х)-А<ε,                                        (17.8)

а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.

-ε<g(х)-А<ε.                                        (17.9)

 

Пусть δ — меньшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда в δ-окрестности точки x₀ выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что

φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A                         (17.10)

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε. Мы доказали, что

" ε>0 $ δ>0 " x: 0<|х-х₀|<δ Þ |ƒ(х)-А|<ε,  то есть lim ƒ(х)=А при х –> x₀.

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции φ(х) и g(х), функция ƒ(х) «следует за милиционерами»▲

  Теорема 17.11(о пределе монотонной функции). Если f(x) монотонна и ограничена при х<х_о или при х>х_о, то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел 

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 17.6 . Ограниченная монотонная последовательность x_n, nєN, имеет предел.