13. Множества. Действительные числа

13.1 Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множествомпонимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множествекорней уравнения х²+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,... ...,х,у,...

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х ÎX; запись хÏХ или х ÎX означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементоммножества В. Символически это обозначают так АÌВ («А включено в В») или ВÉА («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АÌВ и ВÌА. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

ΑÞ   ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;

ΑÛ  ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

" — означает «для любого», «для всякого»;

$ — «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

→ — «соответствие».

Например:  1) запись " xΠА:α означает: «для всякого элемента хΠА имеет место предложение α»; 2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.

13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;

Q={m/n:    mÎZ,nÎN} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.

Теорема 13.1.

Не   существует   рационального   числа,   квадрат   которого   равен числу 2.

▼Допустим, что существует рацыональное число, представленное несократимой дробью m/n, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

(m/n)²=2,    т. е. m²=2n².

Отсюда следует, что m² (а значит, и m) — четное число, т. е. m=2k. Подставив m=2k в равенство m²=2n², получим 4k² = 2n², т. е. 2k²=n²,

Отсюда следует, что число n—четное, т. е. n=2l.Но тогда дробь m/n=2k/2l сократима. Это противоречит допущению, что m/n дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. ▲

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так,√2=1,4142356...— иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

R={х: х=α,α₁α₂α₃ ...},    где аєZ, а_iє{0,1,...,9}.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а<b либо b<а.

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множестводействительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х<b.

Так, если a<b, то одним из них является число (a+b)/2

(a<bÞ   2a<а+b а+b<2bÞ   2а<a+b<2bÞ   а<(a+b)/2<b).

3. Множество R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a<b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству a≤с≤b ("aєA, "bєВ). Оно отделяет числа класса. A от чисел класса В.Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».