25.7. Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы.

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Асимптоты могут быть вертикальными, на клонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

, или

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х=а равно d=׀ х-а׀ . Если х→а, то d→0. Согласно определению асимптоты, прямая х=а является асимптотой кривой у=ƒ(х). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция ƒ (х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

 

Например, кривая  имеет вертикальную асимптоту (см. рис. 157) х =-1, так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

y=kx+b.                                                 (25.5)

Найдем k и b.

Пусть М(х;у) — произвольная точка кривой у=ƒ(х) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой

 находим расстояние от точки М до прямой (25.5):

Условие d→0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т.е.

Отсюда следует, что kx-у+b=α, где α=α(х) бесконечно малая: α→0 при х→ ∞ . Разделив обе части равенства у=b+kx-α на х и перейдя к пределу при х→ ∞ , получаем:

Так как b/х→0 и α/х→0, то

Из условия (25.6) находим b:

Итак, если существуетнаклонная асимптота у=kx+b, то k и b находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у=ƒ(х) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k=0, то b=limƒ(х) при х →∞ . Поэтому у=b — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции у=ƒ(х) при х→+ ∞ и х→- ∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х→+∞ и когда х→- ∞ .

<< Пример 25.13

  Найти асимптоты графика функции у=хе^х.

Решение: Так как   то график функции при х→+ ∞ наклонной асимптоты не имеет. При х→- ∞ справедливы соотношения

Следовательно, при х→- ∞ график имеет горизонтальную асимптоту у=0.

25.8. Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции у=ƒ(х) целесообразно вести в определенной последовательности.

1.  Найти область определения функции.

2.  Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3.  Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых ƒ(х)>0 или ƒ(х)<0).

4.  Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5.  Найти асимптоты графика функции.

6.  Найти интервалы монотонности функции.

7.  Найти экстремумы функции.

8.  Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

<< Пример 25.14

 Исследовать функциюи построить ее график.

Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схемы исследования.

1. Функция не определена при х=1и х=-1. Область ее определения состоит из трех интервалов (-∞;-1), (-1;1), (1;+∞), а график из трех ветвей.

2. Если х=0, тоу=0. График пересекает ось Оу в точке О(0;0); если у=0, то х=0. График пересекает ось Ох в точке О(0;0).

3. Функция знакоположительна (у>0) в интервалах (-∞;-1) и (0;1); знакоотрицательна — в (-1;0) и (1;+∞).

4.  Функция является нечетной, т. к.

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х≥0.

5.  Прямые х=1 и х=-1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:

(k=0 при х→+∞ и при х→-∞),

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у=0. Прямая у=0 является асимптотой и при х → +оо, и при х → —со.

6.  Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как

то у'>0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

7.  Исследуем функцию на экстремум. Так как то критическими точками являются точки x₁=1 и х₂=-1 (у' не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

8.  Исследуем функцию на выпуклость. Находим у":

Вторая производная равна нулю или не существует в точках х₁=0, х₂=-1, х₃=1. На рисунке 159 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.

Точка О(0,0) — точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах (-1;0) и (1;∞); выпуклый вниз на интервалах (-∞;-1) и (0;1).

График функции изображен на рисунке 160.