18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если    то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x₀); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х→0, т.к    при x→0, т. к. 

Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

  т. е.    Отсюда     т. е. α~ß. Аналогично,   если  то α~ß.

Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→х_о, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е.   . Тогда

Следовательно, α+ß~ß при х→х₀.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

<< Пример 18.5

Найти предел 

Решение:

поскольку

3х+7х²~3х и sin2х~2х при х→0.

18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

<< Пример 18.6

Покажем, что 1—cosx~х²/2 - при х→0.

Решение:   

<< Пример 18.7

Найдем  

Решение: Обозначим arcsinх=t. Тогда х=sint и t→0 при х->0.

Поэтому

Следовательно, arcsin х~х при х→0.

<< Пример 18.8  

Покажем, что    при х→0.

Решение: Так как     то    при х→0.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. sinx~х при х→0;

2. tgx~х (х→0);

3. arcsinх ~ х (х→0);

4. arctgx~х (х→0);

5. 1-cosx~x²/2 (х→0);

6. е^х-1~х (х→0);

7. α^х-1~х*ln(a) (х→0);

8. ln(1+х)~х (х→0);

9. log_a(l+х)~х•log_aе (х→0);

10. (1+х)^k-1~k*х, k>0 (х→0);

<< Пример 18.9

Найти   

Решение: Так как tg2x~2x,sin3x~3х при х→0, то   

<< Пример 18.10

 Найти

Решение: Обозначим 1/х=t, из х→∞ следует t→0. Поэтому

<< Пример 18.11

Найти

Решение: Так как arcsin(x-1)~(х-1) при х→1, то  

18.4 Приближенные вычисления

Если α~ß, то, отбрасывая в равенстве α=ß+(α-ß) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. α ® ß, получим приближенное равенство α≈ß.

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.

Например, графики функций y=tgx и y=x в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у=sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у=х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

<< Пример 18.12

Найти приближенное значение для In 1,032.

Решение: In(1,032)=ln(1+0,032)≈0,032 Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что In 1,032=0,031498...