25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x₀ отрезка [а;b], либо на границе отрезка, т. е. при х₀=а или х₀=b. Если х₀є(а;b), то точку х₀ следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;b]:

1)  найти критические точки функции на интервале (а;b);

2)  вычислить значения функции в найденных критических точках;

3)  вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х=а и х=b;

4)  среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у=ƒ (х) на отрезке [а;b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 ƒ(х₀)=ƒ_нб=ƒ_мах (нб — наибольшее, max — максимальное).

2. Если функция у=ƒ (х) на отрезке [а;b] не имеет критических точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) — на другом.

<< Пример 25.10

 Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=3х⁴+4х³+1 на отрезке [-2;1].

Решение: Находим критические точки данной функции: ƒ'(х)=12х³+12х²=12х²(х+1);

ƒ'(х)=0 при x₁=0є[-2;1] и при х₂=-1є[-2;1]. Находим ƒ(0)=1, ƒ(-1)=3-4+1=0, ƒ(-2)=48-32+1=17, ƒ(1)=8. Итак, ƒ_нб=17 в точке х=-2, ƒ_нм=0 в точке х=-1.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.

Рассмотрим более простую задачу.

<< Пример 25.11

 Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?

Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153,  , а потому объем цилиндра

где  хє[0;2R].

Находим наибольшее значение функции V=V(x) на промежутке [0;2π]. Так как V'(x)=πR²-3/4πх², то V'(x)=0 при  , кроме того, V"(x)=-3/4πх<0. Поэтому   — точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный V_max) при   диаметр основания цилиндра равен

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную , и диаметр, равный   

25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у=ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая у=ƒ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ƒ(с)) — точка перегиба.

                                                                                                          

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 25.11. Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 " xє(а;b) — график выпуклый вниз.

▲Пусть ƒ"(х)<0 " xє(а;b). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой х₀є(а;b) и проведем через М касательную (см. рис. 155).

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке хє(а; b) ординату у кривой у=ƒ(х) с ординатой у_кас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

У_кас-ƒ(х₀)=ƒ'(х₀)(х-х₀),      т.е.      У_кас=ƒ(х₀)+f(x₀)(x-х₀).

Тогда у-у_кас=ƒ(х)-ƒ(х₀)-ƒ'(х₀)(х-х₀). По теореме Лагранжа, ƒ(х)-ƒ(х₀)=ƒ'(с)(х-x₀), где с лежит между х₀ и х. Поэтому

У-У_кас=ƒ'(с)(х-х₀)-ƒ'(х₀)(х-х₀),

т. е.

У-У_кас=(ƒ'(с)-ƒ'(х₀))(х-х₀).

Разность ƒ'(с)-ƒ'(х₀) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

ƒ'(с)-ƒ'(х₀)=ƒ"(с₁)(с-х₀),

где с₁ лежит между х₀ и с. Таким образом, получаем

У-У_кас=f"(c₁)(c-х₀)(х-х₀).

Исследуем это равенство:

1)  если х>х₀, то х-х₀>0, с-х₀>0 и f"(c₁)<0. Следовательно, У-У_кас<0, т. е. у<у_кас:   

2)  если х<х₀, то х-х₀<0, с-х₀<0 и f"(c₁)<0. Следовательно, У-У_кас<0, т. е. у<у_кас:   

Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при ƒ"(х)>0 график выпуклый вниз. ▼

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

Пусть ƒ"(х)<0 при х<х₀ и ƒ"(х)>0 при х>х₀. Это значит, что слева от х=х₀ график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка (х₀;ƒ(х₀)) графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х)>0 при х<x₀ и ƒ"(х)<0 при х>х₀, то точка (х₀;ƒ(х₀)) — точка перегиба графика функции у=ƒ(х).

<< Пример 25.12

 Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у=х⁵-х+5.

Решение: Находим, что у'=5х⁴-1, у"=20х³. Вторая производная существует на всей числовой оси; у"=0 при х=0.

Отмечаем, что у">0 при х>0; у"<0 при х<0.

Следовательно, график функции у=х⁵-х+5 в интервале (- ∞ ;0) — выпуклый вверх, в интервале (0; ∞ ) — выпуклый вниз. Точка (0;5) есть точка перегиба.