- •13. Множества. Действительные числа
- •13.1 Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3 Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§ 14. Функция
- •14.1. Понятие функции.
- •14.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5 Сложная функция
- •14.6 Основные элементарные функции и их графики
- •§ 15. Последовательности
- •15. Последовательности
- •15.1 Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы
- •§ 16. Предел функции
- •16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при х ® ∞
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •18.4 Приближенные вычисления
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 20. Производная функции
- •20. Производная функции
- •20.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
- •20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •20.5. Производная сложной и обратной функций
- •20.6. Производные основных элементарных функций
- •20.7. Гиперболические функции и их производные
- •20.8. Таблица производных
- •§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •21.1. Неявно заданная функция
- •21.2. Функция, заданная параметрически
- •22. Логарифмическое дифференцирование
- •§23. Производные высших порядков
- •23. Производные высших порядков
- •23.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •23.2. Механический смысл производной второго порядка
- •23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •23.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§24. Дифференциал функции
- •24. Дифференциал функции
- •24.1. Понятие дифференциала функции
- •24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •24.3 Основные теоремы о дифференциалах
- •24.4. Таблица дифференциалов
- •24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •24.6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 25. Исследование функций при помощи производных
- •25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •25.2. Правила Лопиталя
- •25.3. Возрастание и убывание функций
- •25.4. Максимум и минимум функций
- •25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •25.7. Асимптоты графика функции
- •25.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 26. Формула Тейлора
- •26. Формула тейлора
- •26.1. Формула Тейлора для многочлена
- •26.2. Формула Тейлора для произвольной функции
§ 26. Формула Тейлора
26. Формула тейлора
В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х3/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Рn(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.
26.1. Формула Тейлора для многочлена
Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Рn(х) степени n:
ƒ(х)=Рn(х)=а0+а1х+а2х2+...+аnхn.
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х0, где х0 — произвольное число, т. е. представим Рn(х) в виде
Рn(х)=А0+A1(x-х0)+А2(х-х0)2+...+Аn(х-х0)n (26.1)
Для нахождения коэффициентов А0, А1 ,..., Аn продифференцируем n раз равенство (26.1):
Р'n(х)=А1+2А2(х-x0)+3A3(x-x0)2+...+nAn(x-x0)n-1,
Рn''(х)=2А2+2•3А3(х-х0)+...+n(n-1)Аn(х-х0)n-2,
Рn"'(х)=2•3А3+2•3•4А4(х-х0)+...+n(n-1)(n-2)Аn(х-х0)n-3,
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Рn(n)(х)=n(n-1)( n-2)...2•1Аn
Подставляя х=х0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:
Подставляя найденные значения A0,A1,...,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Рn(х) по степеням (х-х0):
Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Рn(х) степени n.
<< Пример 26.1
Разложить многочлен Р(х)=-4х3+3х2-2х+1 по степеням х+1.
Решение: Здесь х0=-1, Р'(х)=-12х2+6х-2, Р"(х)=-24х+6, Р'"(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р'(-1)=-20, Р"(-1)=30, Р'"(-1)=-24. Следовательно,
т. е. -4х3+3х2-2х+1=10-20(х+1)+15(х+1)2-4(х+1)3.
26.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х0;х) такая, что справедлива формула
Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Рn(х)+Rn(x), где
называется многочленом Тейлора, а
называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. Rn(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Рn(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Рn(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(x).
При х0=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:
где с находится между 0 и х (с=θx, 0<θ<1).
При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ(х)=ƒ(х0)+ƒ'(с)(х-х0) или ƒ(х)-ƒ(х0)=ƒ'(с)(х-x0), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ(х)≈ƒ(х0)+ƒ'(х0)(х-х0) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы
<< Пример 26.2
Найти число е с точностью до 0,001.
Решение: Запишем формулу Маклорена для функции ƒ(х)=ех. Находим производные этой функции: ƒ'(х)=ех, ƒ"(х)=ех, ..., ƒ(n+1)(х)=ех. Так как ƒ(0)=е0= , ƒ'(0)=е0=1, ..., ƒ(n)(0)=1, ƒ(n+1)(с)=ес, то по формуле (26.4) имеем:
Положим х=1:
Для нахождения е с точностью 0,001 определим n из условия, что остаточный член
меньше 0,001. Так как 0<с<1, то ес<3.
Поэтому при n=6 имеем
Итак, получаем приближенное равенство
т.е.е≈2,718.
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций: