- •13. Множества. Действительные числа
- •13.1 Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3 Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§ 14. Функция
- •14.1. Понятие функции.
- •14.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5 Сложная функция
- •14.6 Основные элементарные функции и их графики
- •§ 15. Последовательности
- •15. Последовательности
- •15.1 Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы
- •§ 16. Предел функции
- •16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при х ® ∞
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •18.4 Приближенные вычисления
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 20. Производная функции
- •20. Производная функции
- •20.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
- •20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •20.5. Производная сложной и обратной функций
- •20.6. Производные основных элементарных функций
- •20.7. Гиперболические функции и их производные
- •20.8. Таблица производных
- •§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •21.1. Неявно заданная функция
- •21.2. Функция, заданная параметрически
- •22. Логарифмическое дифференцирование
- •§23. Производные высших порядков
- •23. Производные высших порядков
- •23.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •23.2. Механический смысл производной второго порядка
- •23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •23.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§24. Дифференциал функции
- •24. Дифференциал функции
- •24.1. Понятие дифференциала функции
- •24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •24.3 Основные теоремы о дифференциалах
- •24.4. Таблица дифференциалов
- •24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •24.6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 25. Исследование функций при помощи производных
- •25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •25.2. Правила Лопиталя
- •25.3. Возрастание и убывание функций
- •25.4. Максимум и минимум функций
- •25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •25.7. Асимптоты графика функции
- •25.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 26. Формула Тейлора
- •26. Формула тейлора
- •26.1. Формула Тейлора для многочлена
- •26.2. Формула Тейлора для произвольной функции
13.3 Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть a и b—дейсвительнее числа,причем a<b.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[a; b] = {х : α ≤ х ≤ b} — отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); (a; ) = {х : а < х < b} — интервал (открытый промежуток); [a;b) = {х : а ≤ х < b}; (a; b] = {х : а < х ≤ b} — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки); (-∞; b] = {х : х ≤ b}; [α, +∞) = {х : х ≥ α}; (-∞; b) = {х : х <b}; (а, +∞) = {х : х > а}; (-∞, ∞) = {х : -∞<х<+∞} = R — бесконечные интервалы (промежутки).
Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.
Пусть хо—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (хо-ε,хо+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки хо. Число хо называется центром.
Если хÎ(х0-ε; х0 +ε), то выполняется неравенство x0-ε<х<х 0+ε, или, что то же, |х-х о|<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки хо (см. рис. 97).
§ 14. Функция
|
|
14.1. Понятие функции.
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, которое каждому элементу хÎ X сопоставляет один и только один элемент уÎ Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), хÎ X или ƒ: X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y.
Например, соответствия ƒ и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу хÎX соответствует элемент уÎY. В случае г не соблюдается условие однозначности.
Множество X называется областью определения функции ƒ и обозначается D(f). Множество всех уÎY называется множеством значений функции ƒ и обозначается Е(ƒ).
14.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функций
Пусть задана функция ƒ : X→Y.
Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х).
Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.
Частное значение функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х2-3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.
Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.
Например, графиком функции у=√(1-х2) является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром в О(0;0) (см. рис. 99).
Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.Так, областью определения функции у= √(1-х2) является отрезок [-1; 1].
Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).
Графический способ: задается график функции.
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.